大問Ⅳ　3次関数の最大最小と放物線の面積比微分積分・難易度 　極大値と区間の最大／極大極小を結ぶ直線／1/6公式と面積比

(1)　ア＝6、イ＝1、ウ＝4、エ＝2、オカ＝-2、キ＝8

$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3(x-1)(x-3)$ より、$x=1$ で極大、$x=3$ で極小。

$$k=f(1)=1-6+9+2=6,\qquad f(3)=27-54+27+2=2$$

$0\leqq x\leqq a$ での最大値が $k=6$ となる条件は、「$x=1$ を含む」かつ「$x=1$ より右で6を超えない」。

まず $x=1$ を含むには $a\geqq1$。

$x>3$ で $f$ は増加し、$f(x)=6$ となる $x$ は

$$x^{3}-6x^{2}+9x-4=0 \iff (x-1)^{2}(x-4)=0$$

より $x=1,\ 4$。よって $a\leqq4$。以上より

$$1\leqq a\leqq4$$

この範囲での最小値は、$f(0)=2$ と極小値 $f(3)=2$ を比べればよく（$a<3$ なら候補は $f(0)$ のみ、$a\geqq3$ なら $f(0)$ と $f(3)$）、どちらも $2$ だから最小値は $2$。

$p=1,\ q=3$ より A$(1,\ 6)$、B$(3,\ 2)$。傾きは $\dfrac{2-6}{3-1}=-2$ だから

$$y-6=-2(x-1) \iff y=-2x+8$$

(2)　クケ／コ＝$\dfrac{32}{3}$、サ／シ＝$\dfrac{4}{3}$

$y=-x^{2}+4x$ と $x$ 軸の交点は $x=0,\ 4$。$\dfrac16$ 公式より

$$D=\int_{0}^{4}(-x^{2}+4x)\,dx=\dfrac{1}{6}\cdot1\cdot(4-0)^{3}=\dfrac{64}{6}=\dfrac{32}{3}$$

放物線と直線 $y=mx$ の交点は $-x^{2}+4x=mx \iff x\{(4-m)-x\}=0$ より $x=0,\ 4-m$。

$y=mx$ の上側の部分（放物線と直線に挟まれた部分）の面積は、同じく $\dfrac16$ 公式で

$$S_{1}=\int_{0}^{4-m}\bigl\{(-x^{2}+4x)-mx\bigr\}dx=\dfrac{1}{6}(4-m)^{3}$$

$S_{1}:S_{2}=8:19$ のとき $S_{1}:(S_{1}+S_{2})=8:27$ だから

$$\dfrac{1}{6}(4-m)^{3}=\dfrac{8}{27}\cdot\dfrac{32}{3}$$

$$(4-m)^{3}=\dfrac{512}{27}=\left(\dfrac{8}{3}\right)^{3} \iff 4-m=\dfrac{8}{3}$$

$$m=4-\dfrac{8}{3}=\dfrac{4}{3}$$

これは $0<m<4$ を満たす。

（覚え方：$S_1$ と全体は相似比 $\dfrac{4-m}{4}$ の3乗で対応する。$\dfrac{8}{27}$ の3乗根が $\dfrac{2}{3}$ なので $4-m=4\cdot\dfrac23$ と即答できる。）