大問Ⅲ　2次関数の最大値と解の配置2次関数の代数的処理(平方完成・頂点評価等)・難易度 　頂点と原点対称移動／最大値Mの範囲／異符号の解・実数解なし

(1)　ア＝2、イウ＝-2、エ＝2、オ＝8、カキ＝10

$a=2$ のとき $f(x)=-2x^{2}+8x-10=-2(x-2)^{2}-2$。よって頂点は $(2,\ -2)$。

原点に関する対称移動は $(x,y)\mapsto(-x,-y)$。移動後の曲線上の点 $(x,y)$ は、もとの $C$ 上の点 $(-x,-y)$ に対応するので $-y=f(-x)$、すなわち

$$y=-f(-x)=-\bigl(-2x^{2}-8x-10\bigr)=2x^{2}+8x+10$$

(2)　クケ＝-1、コ＝4、サシ／ス＝$-\dfrac{5}{2}$

$f(x)=-2(x-a)^{2}+2a^{2}-6a+2$（$x^{2}$ の係数が負なので頂点で最大）より

$$M=2a^{2}-6a+2$$

$M=10 \iff 2a^{2}-6a-8=0 \iff a^{2}-3a-4=0 \iff (a+1)(a-4)=0$。よって $a=-1,\ 4$。

$M=2a^{2}-6a+2=2\left(a-\dfrac32\right)^{2}-\dfrac52$ だから、$a$ が実数全体を動くとき

$$M\geqq-\dfrac{5}{2}$$

(3)　セ／ソ＝$\dfrac{1}{3}$、（タ$-\sqrt{}$チ）／ツ＝$\dfrac{3-\sqrt5}{2}$、（テ$+\sqrt{}$ト）／ナ＝$\dfrac{3+\sqrt5}{2}$

$f(x)=0$ は両辺を $-2$ で割って

$$x^{2}-2ax+3a-1=0 \quad \cdots (*)$$

異符号の解をもつ⟺2解の積が負。解と係数の関係より積は $3a-1$ だから

$$3a-1<0 \iff a<\dfrac{1}{3}$$

（このとき判別式は自動的に正なので、積の条件だけでよい。）

実数解をもたない⟺$(*)$ の判別式が負。

$$\dfrac{D}{4}=a^{2}-(3a-1)=a^{2}-3a+1<0$$

$a^{2}-3a+1=0$ の解は $a=\dfrac{3\pm\sqrt5}{2}$ だから

$$\dfrac{3-\sqrt5}{2}<a<\dfrac{3+\sqrt5}{2}$$