大問Ⅱ　図形と方程式・指数対数・三角関数三角関数・難易度 　点対称と直線対称／指数方程式と対数不等式／合成と三角不等式

(1)　アイ＝-5、ウエ＝-3、オカ／キ＝$\dfrac{14}{5}$、クケ／コ＝$\dfrac{22}{5}$

点対称は「P が AB の中点」。$\mathrm{B}(x,y)$ とすると $\dfrac{1+x}{2}=-2,\ \dfrac{5+y}{2}=1$ より

$$\mathrm{B}(-5,\ -3)$$

直線対称は (i) 中点が $l$ 上　(ii) AC $\perp l$ の2条件。$\mathrm{C}(x,y)$ とすると

(i) $\dfrac{5+y}{2}=3\cdot\dfrac{1+x}{2}-1 \iff 5+y=3x+1 \iff y=3x-4$

(ii) $l$ の傾きが $3$ なので AC の傾きは $-\dfrac{1}{3}$。$\dfrac{y-5}{x-1}=-\dfrac{1}{3} \iff x+3y=16$

(i) を (ii) に代入して $x+3(3x-4)=16$、$10x=28$、$x=\dfrac{14}{5}$。このとき $y=3\cdot\dfrac{14}{5}-4=\dfrac{22}{5}$。

$$\mathrm{C}\left(\dfrac{14}{5},\ \dfrac{22}{5}\right)$$

(2)　サシ＝-1、ス＝0、セ＝1

$t=2^{x}\ (t>0)$ とおくと $2^{2x+1}=2\cdot(2^{x})^{2}=2t^{2}$ だから

$$2t^{2}+9t-5=0 \iff (2t-1)(t+5)=0$$

$t>0$ より $t=\dfrac12$。よって $2^{x}=2^{-1}$、$x=-1$。

対数不等式は真数条件が先。$x>0$ かつ $x+2>0$ より $x>0$。

底 $10>1$ なので $\log_{10}x(x+2)<\log_{10}3 \iff x(x+2)<3 \iff x^{2}+2x-3<0 \iff (x+3)(x-1)<0 \iff -3<x<1$。

真数条件と合わせて $0<x<1$。

(3)　ソ＝2、タ＝6、チ／ツ＝$\dfrac{2}{3}$

$\sqrt{3}\sin2\theta-\cos2\theta=2\left(\dfrac{\sqrt3}{2}\sin2\theta-\dfrac12\cos2\theta\right)=2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)$。よって $\alpha=\dfrac{\pi}{6}$。

不等式は $2\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>-1$、すなわち $\sin\left(2\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)>-\dfrac12$。

角の動く範囲を先に押さえるのが要点。$0\leqq\theta<\pi$ より $u=2\theta-\dfrac{\pi}{6}$ とおくと $-\dfrac{\pi}{6}\leqq u<\dfrac{11}{6}\pi$。

この範囲で $\sin u=-\dfrac12$ となるのは $u=-\dfrac{\pi}{6},\ \dfrac{7}{6}\pi$ であり、$\sin u>-\dfrac12$ となるのは

$$-\dfrac{\pi}{6}<u<\dfrac{7}{6}\pi$$

（$u=\dfrac{11}{6}\pi$ は範囲外なので、その先の区間は現れない。）

$-\dfrac{\pi}{6}<2\theta-\dfrac{\pi}{6}<\dfrac{7}{6}\pi$ より $0<2\theta<\dfrac{4}{3}\pi$、すなわち

$$0<\theta<\dfrac{2}{3}\pi$$