大問Ⅰ　整数の性質・場合の数・確率確率・難易度 　1512の約数と平方数条件／組分け／期待値

(1)　アイ＝32、ウエ＝42

$1512=2^{3}\cdot 3^{3}\cdot 7$ と素因数分解できるから、正の約数の個数は

$$(3+1)(3+1)(1+1)=4\cdot4\cdot2=32\ (\text{個})$$

$\sqrt{1512n}$ が自然数 $\iff$ $1512n$ が平方数 $\iff$ $1512n$ のすべての素因数の指数が偶数。

$1512=2^{3}\cdot3^{3}\cdot7^{1}$ は指数がすべて奇数なので、$2,3,7$ を1個ずつ補えばよい。よって最小の $n$ は $2\cdot3\cdot7=42$。

(2)　オカ＝15、キク＝62

2人ずつ3組に分ける（組に区別がない）ので、いったん区別して分けてから $3!$ で割る。

$$\dfrac{{}_{6}\mathrm{C}_{2}\cdot{}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot{}_{2}\mathrm{C}_{2}}{3!}=\dfrac{15\cdot6\cdot1}{6}=15\ (\text{通り})$$

A、B は区別があるので、生徒1人ずつに「A か B か」の2通りを割り当てて $2^{6}=64$ 通り。ただし全員 A・全員 B の2通りは「2つのグループに分けた」ことにならないので除いて

$$64-2=62\ (\text{通り})$$

(3)　ケ＝3、コサ＝10、シ＝6、ス＝5

全事象は ${}_{10}\mathrm{C}_{3}=120$ 通り。白2個・赤1個は ${}_{4}\mathrm{C}_{2}\cdot{}_{6}\mathrm{C}_{1}=6\cdot6=36$ 通りだから

$$\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}$$

期待値は、白玉4個それぞれについて「その玉が選ばれる」という事象を考えると速い。どの1個も選ばれる確率は $\dfrac{{}_{9}\mathrm{C}_{2}}{{}_{10}\mathrm{C}_{3}}=\dfrac{36}{120}=\dfrac{3}{10}$ なので

$$E[X]=4\cdot\dfrac{3}{10}=\dfrac{6}{5}$$

（分布から求めても同じ。$P(X=0)=\dfrac{20}{120},\ P(X=1)=\dfrac{60}{120},\ P(X=2)=\dfrac{36}{120},\ P(X=3)=\dfrac{4}{120}$ より $E[X]=\dfrac{0+60+72+12}{120}=\dfrac{144}{120}=\dfrac{6}{5}$。）