大問Ⅲ　ニュートンリング波動・難易度 やや難　すきまの厚さと明環の半径・3色の明暗から見える環の色・レンズ交換後の曲率半径

問1 球面の中心から O までの距離が $r$ である。O から水平に $x$ 離れた点で，球面は中心から測って高さ $\sqrt{r^2-x^2}$ のところにあるので

$t=r-\sqrt{r^2-x^2}=r\left(1-\sqrt{1-\dfrac{x^2}{r^2}}\right)$

$x$ は $r$ にくらべて小さいので，与えられた近似で $a=-\dfrac{x^2}{r^2}$ とすると

$\sqrt{1-\dfrac{x^2}{r^2}}=1-\dfrac{x^2}{2r^2}$

問2 上から入った光のうち，レンズの球面（ガラスから空気へ向かう面）で反射する光は位相が変わらない。すきまを通って平面ガラスの上面（空気からガラスへ向かう面）で反射する光は，屈折率の大きい媒質で反射するので位相が $\pi$ だけずれる。

2つの光の経路の差は $2t$ なので，強め合う（明環になる）条件は

$2t=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)\lambda\quad(m=1,2,3\cdots)$

問1の結果を代入すると $\dfrac{x^2}{r}=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)\lambda$

問3 図3で，それぞれの波長の縦線上で，与えられた $x$ が白い部分（明環）か灰色の部分（暗環）かを読み取る。

① $x=5.0\ \mathrm{mm}$：$470\ \mathrm{nm}$ は $4.5\sim5.2$ の灰色の帯の中，$540\ \mathrm{nm}$ は $4.8\sim5.6$ の灰色の帯の中で，どちらも暗環である。$670\ \mathrm{nm}$ は灰色の帯（$5.5\sim6.4$）の下側の白い部分なので明環である。赤色だけが明るい。

② $x=7.0\ \mathrm{mm}$：$470\ \mathrm{nm}$ は $6.7\sim7.2$ の灰色の帯の中で暗環。$540\ \mathrm{nm}$ は $5.6$ と $7.2$ の帯にはさまれた白い部分，$670\ \mathrm{nm}$ は $6.4$ と $8.2$ の帯にはさまれた白い部分で，どちらも明環である。緑色と赤色が明るい。

③ $x=9.0\ \mathrm{mm}$：$470\ \mathrm{nm}$ は $8.7$ と $9.7$ の帯にはさまれた白い部分で明環。$540\ \mathrm{nm}$ は $8.8\sim9.4$ の灰色の帯の中で暗環。$670\ \mathrm{nm}$ は $8.8$ より上の白い部分で明環である。青色と赤色が明るい。

図2より，緑色と赤色の重なりは黄，青色と赤色の重なりは紫である。

問4 問2の式で $m=6$，$\lambda=660\ \mathrm{nm}$，$x=9.9\ \mathrm{mm}$ とすると

$r'=\dfrac{x^2}{\left(m-\dfrac{1}{2}\right)\lambda}=\dfrac{(9.9\times10^{-3})^2}{5.5\times660\times10^{-9}}=\dfrac{9.801\times10^{-5}}{3.63\times10^{-6}}$

問5 $x=9.9\ \mathrm{mm}$ に明環をつくる光の波長は，問2の式より

$\left(m-\dfrac{1}{2}\right)\lambda=\dfrac{x^2}{r'}=\dfrac{9.801\times10^{-5}}{27}=3.63\times10^{-6}\ \mathrm{m}=3630\ \mathrm{nm}$

を満たす。$m$ を変えて可視光の範囲の波長を求めると

$m=6$：$660\ \mathrm{nm}$（赤）　$m=7$：$\dfrac{3630}{6.5}=558.4\cdots\ \mathrm{nm}$（緑）　$m=8$：$484\ \mathrm{nm}$（青）　$m=9$：$427\ \mathrm{nm}$（紫）

図2より，黄色になるのは赤色と緑色が重なったときなので，追加したのは緑色の光である。