大問Ⅰ　浮力と単振動力学・難易度 難　2つの直方体を沈めるときの手の力のグラフ・エネルギー保存から沈める深さ・浮き沈みの周期

問1 A の質量は $\rho Sh$ である。水面から A の下面までの距離を $x$ とすると，水に沈んでいる部分の体積は $Sx$ なので，浮力は $\rho_0 gSx$ である。力のつり合いより

$\rho_0 gSx=\rho Shg$

問2 B の質量は $\rho\cdot\dfrac{S}{2}\cdot\dfrac{h}{2}=\dfrac{\rho Sh}{4}$ なので，A と B を合わせた質量は $\dfrac{5}{4}\rho Sh$ である。沈んでいるのは A の下から $\dfrac{3}{4}h$ の部分だけなので，浮力は $\rho_0 gS\cdot\dfrac{3}{4}h$ である。

$\rho_0 gS\cdot\dfrac{3}{4}h=\dfrac{5}{4}\rho Shg$

$\rho=\dfrac{3}{5}\rho_0$

問3 問2より A と B を合わせた重さは $\dfrac{5}{4}\rho Shg=\dfrac{3}{4}\rho_0 Shg$ である。手が加える力の大きさを $F$ とすると，つり合いは

（浮力）$=$（重さ）$+F$

沈み方は3つの段階に分かれる。

・$0\leqq z\leqq\dfrac{h}{4}$：A の上面はまだ水面より上にある。沈んでいる体積は $S\left(\dfrac{3}{4}h+z\right)$ なので

$F=\rho_0 gS\left(\dfrac{3}{4}h+z\right)-\dfrac{3}{4}\rho_0 Shg=\rho_0 gSz$

$z=\dfrac{h}{4}$（A の上面が水面を通過）で $F=\dfrac{1}{4}\rho_0 gSh$ になる。

・$\dfrac{h}{4}\leqq z\leqq\dfrac{3}{4}h$：A は完全に水中にあり，B が沈んでいく。沈んでいる体積は $Sh+\dfrac{S}{2}\left(z-\dfrac{h}{4}\right)$ なので

$F=\dfrac{1}{4}\rho_0 gSh+\dfrac{1}{2}\rho_0 gS\left(z-\dfrac{h}{4}\right)$

傾きは前半の半分になる。$z=\dfrac{3}{4}h$（B の上面が水面を通過）で $F=\dfrac{1}{2}\rho_0 gSh$ になる。

・$\dfrac{3}{4}h\leqq z$：両方とも水中にあるので浮力は一定で，$F=\dfrac{1}{2}\rho_0 gSh$ のまま変わらない。

問4 手を離した後の上向きの正味の力（浮力から重さを引いたもの）は，問3の $F$ と同じ式で表される。$z<0$ の範囲でも，A の下面の深さが $\dfrac{3}{4}h+z$ なので，同じ式 $\rho_0 gSz$ が使える（$z<0$ では下向きになる）。

速さが $0$ から $0$ に変わるので，$z=\dfrac{3}{4}h+d$ から $z=-\dfrac{3}{4}h$ まで動く間に正味の力がした仕事は $0$ である。$k=\rho_0 gS$ とおくと

$\displaystyle\int_{-\dfrac{3}{4}h}^{\dfrac{h}{4}}kz\,dz=\dfrac{k}{2}\left\{\left(\dfrac{h}{4}\right)^2-\left(\dfrac{3}{4}h\right)^2\right\}=-\dfrac{kh^2}{4}$

$\displaystyle\int_{\dfrac{h}{4}}^{\dfrac{3}{4}h}\left\{\dfrac{kh}{4}+\dfrac{k}{2}\left(z-\dfrac{h}{4}\right)\right\}dz=\dfrac{kh^2}{8}+\dfrac{kh^2}{16}=\dfrac{3kh^2}{16}$

$\displaystyle\int_{\dfrac{3}{4}h}^{\dfrac{3}{4}h+d}\dfrac{kh}{2}\,dz=\dfrac{khd}{2}$

和を $0$ とおくと

$-\dfrac{kh^2}{4}+\dfrac{3kh^2}{16}+\dfrac{khd}{2}=0$，すなわち $\dfrac{khd}{2}=\dfrac{kh^2}{16}$

問5 再び沈みはじめるのは $z=-\dfrac{3}{4}h$（速さ $0$）からである。$-\dfrac{3}{4}h\leqq z\leqq\dfrac{h}{4}$ では上向きの正味の力が $\rho_0 gSz$，すなわち変位 $z$ に比例して $z=0$ にもどそうとする向きにはたらくので，この範囲の運動は $z=0$ を中心とする単振動である。

質量は $\dfrac{5}{4}\rho Sh=\dfrac{3}{4}\rho_0 Sh$ なので，角振動数を $\omega$ として

$\dfrac{3}{4}\rho_0 Sh\cdot\omega^2=\rho_0 gS$　より　$\omega^2=\dfrac{4g}{3h}$

周期は $T=\dfrac{2\pi}{\omega}=\pi\sqrt{\dfrac{3h}{g}}$ である。

$z=-\dfrac{3}{4}h$ は単振動の端で，$z=0$ は中心だから，そこまでは周期の $\dfrac{1}{4}$ である。