大問Ⅳ　分数関数の増減とグラフ、方程式が3つの実数解をもつ条件、定積分による面積、傾きを与えたときの接線の本数数学III(微分法・積分法)・難易度 やや難　

(1) アイウ = -10、エオ = -1

　x ≠ 0 なので f(x) = 0 は両辺に x^2 を掛けた x^2 f(x) = 0 と同値である。

　x^3 + 12x^2 + 21x + 10 = 0。

　x = -1 を代入すると 0 になるので (x+1) を因数にもつ。割り算して整理すると (x+1)^2(x+10) = 0。

　よって x = -10, -1。小さい順に -10, -1。

(2) カ = 1、キク = 21、ケコ = 20

　f(x) = x + 12 + 21x^(-1) + 10x^(-2) を微分すると

　f′(x) = 1 - 21x^(-2) - 20x^(-3) = 1 - 21/x^2 - 20/x^3。

(3) サ = 0、シス = 27、セ = 8、ソタチ = 108、ツ = 5

　f′(x) = 0 とすると、両辺に x^3 を掛けて x^3 - 21x - 20 = 0。

　因数分解すると (x+1)(x+4)(x-5) = 0 なので x = -4, -1, 5。

　増減を調べると、x = -4 で極大値 f(-4) = -4 + 12 - 21/4 + 10÷16 = 27/8、x = -1 で極小値 f(-1) = -1 + 12 - 21 + 10 = 0、x = 5 で極小値 f(5) = 5 + 12 + 21/5 + 10÷25 = 108/5 をとる。

　x → +0 で f(x) → +∞、x → -0 で f(x) → +∞、x → ±∞ で f(x) → ±∞ である。

　y = f(x) のグラフと直線 y = a が3個の異なる共有点をもつ a の範囲を読み取ると

　0 < a < 27/8、　108/5 < a。

(4) テト = 19

　C と x 軸の交点は (1) より x = -10, -1 で、この区間では f(x) ≧ 0 である。

　S = ∫[-10 から -1] f(x) dx = ∫[-10 から -1] (x + 12 + 21/x + 10/x^2) dx

　= [x^2/2 + 12x + 21 log|x| - 10/x] (-10 から -1)

　= {1/2 - 12 + 0 + 10} - {50 - 120 + 21 log 10 + 1}

　= (-3/2) - (-69 + 21 log 10) = 67.5 - 21 log 10。

　log 10 = 2.302 を代入すると S = 67.5 - 21×2.302 = 67.5 - 48.342 = 19.158。

　S を超えない最大の整数は 19。

(5) ナ = 1、ニ = 3、ヌ = 1

　接点が異なれば接線も異なるので、傾きが m の接線の本数 T(m) は f′(x) = m となる実数 x の個数、すなわち y = f′(x) のグラフと直線 y = m の共有点の個数に等しい。

　f″(x) = 42/x^3 + 60/x^4 = 6(7x + 10)/x^4。

　f″(x) = 0 となるのは x = -10/7 で、x < -10/7 では f″(x) < 0、-10/7 < x < 0 および x > 0 では f″(x) > 0 である。

　x = -10/7 での値は f′(-10/7) = -243÷100 = -2.43。

　また x → ±∞ で f′(x) → 1 なので、y = f′(x) のグラフは直線 y = 1 を漸近線にもつ。x → -0 で f′(x) → +∞、x → +0 で f′(x) → -∞ である。

　以上から y = f′(x) のグラフと直線 y = m の共有点の個数を数えると

　m = -3 のとき -3 < -243/100 なので共有点は x > 0 側の1個だけ。T(-3) = 1。

　m = -2 のとき -243/100 < -2 < 0 なので、x < 0 側で2個、x > 0 側で1個の計3個。T(-2) = 3。

　m = 2 のとき 2 > 1 なので、漸近線 y = 1 を超えており x < 0 側に1個のみ。T(2) = 1。