大問Ⅲ　解と係数の関係、導関数を解に用いた2次関数、すべての実数で成り立つ不等式と判別式、放物線で囲まれた面積、和の最大値数学I・II(2次方程式と2次不等式・面積・数列)・難易度 標準　

(1) アイ = -3、ウ = 2

　α, β は f(x) = x^2 + 3px + 2 = 0 の2解なので、解と係数の関係より

　α + β = -3p、αβ = 2。

(2) エ = 2、オ = 3

　h(x) = f′(x) = 2x + 3p。

(3) カ = 0、キク = -9、ケ = 8

　h(α) + h(β) = (2α + 3p) + (2β + 3p) = 2(α + β) + 6p = 2(-3p) + 6p = 0。

　h(α)h(β) = (2α + 3p)(2β + 3p) = 4αβ + 6p(α + β) + 9p^2 = 4・2 + 6p(-3p) + 9p^2 = 8 - 18p^2 + 9p^2 = -9p^2 + 8。

(4) コ = 2、サシ = 14、ス = 9

　g(x) = 2{x - h(α)}{x - h(β)} = 2[x^2 - {h(α)+h(β)}x + h(α)h(β)]。(3) より

　g(x) = 2{x^2 + (-9p^2 + 8)} = 2(x^2 - 9p^2 + 8)。

　g(x) - f(x) = 2(x^2 - 9p^2 + 8) - (x^2 + 3px + 2) = x^2 - 3px - 2(9p^2 - 7)。

　これがすべての実数 x で 0 以上になる条件は、2次方程式 x^2 - 3px - 2(9p^2 - 7) = 0 の判別式 D が D ≦ 0 となることである。

　D = (-3p)^2 + 4・2(9p^2 - 7) = 9p^2 + 72p^2 - 56 = 81p^2 - 56。

　81p^2 - 56 ≦ 0 より p^2 ≦ 56/81、すなわち -2√14/9 ≦ p ≦ 2√14/9。

　よって a = 2√14/9。

(5) セソタ = 125、チ = 6

　p = 1 のとき (4) より

　f(x) - g(x) = -(x^2 - 3x - 2(9-7)) = -(x^2 - 3x - 4) = -(x+1)(x-4)。

　2つの放物線の交点の x 座標は x = -1, 4。この区間で f(x) - g(x) ≧ 0 なので、囲まれた図形の面積は

　∫[-1 から 4] {f(x) - g(x)} dx = ∫[-1 から 4] {-(x+1)(x-4)} dx。

　いわゆる 6分の1 公式より (1/6){4 - (-1)}^3 = (1/6)・125 = 125/6。

(6) ツテ = -6、トナ = 54、ニヌネ = 120

　p = -2 のとき f(x) = x^2 - 6x + 2、g(x) = 2(x^2 - 9・4 + 8) = 2(x^2 - 28)。

　2f(x) - g(x) = 2(x^2 - 6x + 2) - 2(x^2 - 28) = 2(-6x + 30) = 12(-x + 5)。

　したがって

　Sn = Σ[k=1 から n] {2f(k) - g(k)} = 12Σ[k=1 から n] (-k + 5) = 12{-n(n+1)/2 + 5n} = -6n^2 - 6n + 60n = -6n^2 + 54n。

　Sn = -6(n - 9/2)^2 + 6(9/2)^2 と平方完成すると、n は自然数なので n = 4 または n = 5 のとき最大になる。

　S4 = -6・16 + 54・4 = -96 + 216 = 120、S5 = -6・25 + 54・5 = -150 + 270 = 120。

　最大値は 120。