大問Ⅱ　内積と三角形の面積、係数の条件が表す点の存在範囲、2つの領域の共通部分と直角三角形になる条件数学C(平面ベクトル)・難易度 やや難　

(1) アイ = 21、ウ = 5、エ = 3

　余弦定理と同じ式をベクトルで書くと

　|AB→|^2 = |OA→|^2 + |OB→|^2 - 2OA→・OB→ = 4^2 + 5^2 - 2・4・5・(1/2) = 16 + 25 - 20 = 21。

　よって AB = √21。

　cos∠AOB = 1/2 より ∠AOB = π/3 なので

　S = (1/2)・OA・OB・sin∠AOB = (1/2)・4・5・sin(π/3) = 10・(√3/2) = 5√3。

(2) オカ = 40、キ = 3、ク = 9

　OA1→ = (1/3)OA→、OB1→ = (1/3)OB→ となる点 A1, B1 をとる。

　s + t ≦ 1、s ≧ 0、t ≧ 0 は △OAB の周および内部を表し、s + t ≧ 1/3 は直線 A1B1 より A 側を表す。

　したがって点 P の存在範囲は台形 A1ABB1 の周および内部である。

　その面積は △OAB から △OA1B1 を除いたもので、相似比が 1 : (1/3) だから

　{1 - (1/3)^2}S = (8/9)・5√3 = 40√3/9。

(3) ケコ = 12、サ = 3

　1 ≦ 2s + 5t ≦ 5 の各辺を 5 で割ると 1/5 ≦ (2/5)s + t ≦ 1。

　ここで (2/5)s = s′ とおくと 1/5 ≦ s′ + t ≦ 1、s′ ≧ 0、t ≧ 0。

　OA2→ = (5/2)OA→ とおくと OP→ = s′OA2→ + tOB→ と書ける。

　(2) と同じ形なので、OA3→ = (1/5)OA2→、OB3→ = (1/5)OB→ となる点をとると、存在範囲は台形 A3A2BB3 の周および内部。

　△OA2B = (5/2)S なので、面積は

　{1 - (1/5)^2}・(5/2)S = (24/25)・(5/2)・5√3 = (12/5)・5√3 = 12√3。

(4)(i) シス = 10

　s + at ≦ a の両辺を a で割ると (1/a)s + t ≦ 1。2 ≦ 2s + t の両辺を 2 で割ると 1 ≦ s + (1/2)t。

　OA4→ = aOA→、OB4→ = 2OB→ とおくと、前者は △OA4B の周および内部、後者は直線 AB4 より外側を表す。D はこの2つの共通部分である。

　a > 1 のとき線分 A4B と線分 AB4 は交点をもつので、これを Q とおくと D は △AA4Q の周および内部になる。

　OB4 = 10 > 8 = 4/cos(π/3) より ∠OAB4 > π/2 であり、OA4 = a + 4 > 5÷2 = 5cos(π/3) より ∠OA4B < π/2。

　したがって D の内角のうち直角になり得るのは ∠A4QA だけで、条件は AB4→・A4B→ = 0 である。

　AB4→・A4B→ = (2OB→ - OA→)・(OB→ - aOA→) = 2|OB→|^2 - (2a+1)OA→・OB→ + a|OA→|^2

　= 2・25 - (2a+1)・10 + 16a = 50 - 20a - 10 + 16a = 40 - 4a。

　これが 0 となるのは a = 10。

(4)(ii) セソ = 90、タ = 3、チ = 7

　Q は線分 A4B 上かつ線分 AB4 上、すなわち2つの境界線の交点なので

　s + at = a　かつ　2s + t = 2。

　これを解くと s = a/(2a-1)、t = (2a-2)/(2a-1)。

　このとき A4Q : QB = (2a-2) : 1 であり、OA : AA4 = 1 : (a-1) である。

　したがって

　D の面積 = △AA4Q = {(2a-2)/(2a-1)}△AA4B = {(2a-2)/(2a-1)}(a-1)△OAB = 2(a-1)^2/(2a-1) × S。

　a = 4 のとき 2・9/7 × 5√3 = (18/7)・5√3 = 90√3/7。

(4)(iii) ツ = 5、テ = 5、ト = 4

　(ii) の式より 2(a-1)^2/(2a-1) = 1/2。

　分母を払うと 4(a-1)^2 = 2a - 1、すなわち 4a^2 - 8a + 4 = 2a - 1。

　整理して 4a^2 - 10a + 5 = 0。解の公式より a = (10 ± √(100-80))/8 = (10 ± 2√5)/8 = (5 ± √5)/4。

　a > 1 を満たすのは a = (5 + √5)/4。