大問Ⅰ　中央値・平均値・分散、第3四分位数から欠測値を決める、共分散を使った連立方程式、相関係数数学I(データの分析)・難易度 標準　

(1) ア = 8、イ = 8、ウ = 6

　1月から5月までのA町のデータは 8, 5, 12, 6, 9。大きさの順に並べ直すと 5, 6, 8, 9, 12。

　データは5個なので中央値は3番目の値で 8。

　平均値は (5+6+8+9+12)/5 = 40÷5 = 8。

　分散は偏差の2乗の平均なので

　{(5-8)^2 + (6-8)^2 + (8-8)^2 + (9-8)^2 + (12-8)^2}/5 = (9+4+0+1+16)/5 = 30÷5 = 6。

(2) エオ = 11、カ = 3、キク = 10、ケ = 8

　データは12個なので、第3四分位数は上位6個の中央値、すなわち大きさの順に並べたときの9番目と10番目の平均値である。

　x 以外の11個を大きさの順に並べると 5, 6, 8, 9, 10, 10, 10, 10, 12, 13, 16。

　第3四分位数が 11.5 なので x は 10 以上 12 以下に限られ、このとき9番目と10番目は x と 12 になる。

　(x + 12)/2 = 11.5 より x = 11。

　第1四分位数は下位6個の中央値で、3番目と4番目の平均 (8+9)/2 = 8.5。

　四分位範囲は 11.5 - 8.5 = 3。

　平均値は (8+5+12+6+9+10+13+16+10+10+10+11)/12 = 120÷12 = 10。

　分散は {(8-10)^2+(5-10)^2+(12-10)^2+(6-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(13-10)^2+(16-10)^2+(10-10)^2+(10-10)^2+(10-10)^2+(11-10)^2}/12 = 96÷12 = 8。

(3) コサ = 10、シス = 21、セソ = 16、タチ = 12

　1月から5月までのB町の平均値が 16 であることから

　(15+12+22+y+z)/5 = 16　→　y + z = 31　……①

　共分散は偏差の積の平均である。A町の5か月の平均は (1) より 8、B町は 16 なので

　{(8-8)(15-16) + (5-8)(12-16) + (12-8)(22-16) + (6-8)(y-16) + (9-8)(z-16)}/5 = 10.6。

　分子を整理すると 0 + 12 + 24 - 2y + 32 + z - 16 = -2y + z + 52。

　(-2y + z + 52)/5 = 10.6 より -2y + z = 1　……②

　①、② を解いて y = 10、z = 21。

　B町の12か月の平均値は (15+12+22+10+21+14+17+20+16+14+17+14)/12 = 192÷12 = 16。

　分散は {(15-16)^2+(12-16)^2+(22-16)^2+(10-16)^2+(21-16)^2+(14-16)^2+(17-16)^2+(20-16)^2+(16-16)^2+(14-16)^2+(17-16)^2+(14-16)^2}/12 = 144÷12 = 12。

(4) ツテ = 66

　12か月のA町とB町の共分散は、A町の平均 10、B町の平均 16 を使って

　{(8-10)(15-16) + (5-10)(12-16) + (12-10)(22-16) + (6-10)(10-16) + (9-10)(21-16) + (10-10)(14-16) + (13-10)(17-16) + (16-10)(20-16) + (10-10)(16-16) + (10-10)(14-16) + (10-10)(17-16) + (11-10)(14-16)}/12

　= (2+20+12+24-5+0+3+24+0+0+0-2)/12 = 78÷12 = 6.5。

　標準偏差は (2) と (3) よりそれぞれ √8、√12。相関係数は共分散を標準偏差の積で割って

　6.5/(√8・√12) = 6.5/√96 = 6.5/(4√6) = 6.5/(4×2.45) = 6.5÷9.8 = 0.663… ≒ 0.66。