大問Ⅳ　複素数の極形式と偏角、直線に関する対称点と回転、正三角形の外接円、円上の点の絶対値と偏角の最大最小数学C(複素数平面)・難易度 やや難　

(1) ア = 4、イ = 6、ウ = 1、エ = 3

　|α| = √((2√6)^2 + (6√2)^2) = √(24 + 72) = √96 = 4√6。

　α = 2√6(1 + √3 i) = 4√6(1/2 + (√3/2)i) = 4√6(cos(π/3) + i sin(π/3)) なので arg α = π/3。

(2) オ = 5、カ = 6、キ = 7、クケ = 12

　|z-1| = |z-i| は 2 点 1, i から等距離の点の集合、すなわち 2 点を結ぶ線分の垂直二等分線である。これは原点を通り、実軸と π/4 の角をなす直線 l である。

　P(ᾱ) を l に関して対称移動した点が B(β) なので

　β = (cos(π/4) + i sin(π/4))^2 ・ ᾱ の形に書ける。具体的には arg β = π/2 - arg ᾱ = π/2 - (-π/3) = 5π/6。

　また |β| = |α| = 4√6 である。

　次に C(γ) は A(α) を B(β) を中心に π/3 回転した点。|β| = |α| で ∠AOB = 5π/6 - π/3 = π/2 かつ |α| = |β| であることから △OAB は OA = OB の直角二等辺三角形であり、さらに △ABC は正三角形である。したがって OC は ∠AOB を二等分するので

　arg γ = (1/2)(arg α + arg β) = (1/2)(π/3 + 5π/6) = 7π/12。

(3) コ = 8、サシ = 12、ス = 4、セ = 3、ソタ = -4、チ = 4、ツ = 3

　|γ - β| = |(cos(π/3) + i sin(π/3))(α - β)| = |α - β|。△OAB は OA = OB = 4√6 の直角二等辺三角形なので AB = √2|α| = √2・4√6 = 8√3。

　△ABC は正三角形（∠ACB = π/3、BA = BC）なので、外接円 S の半径を s とすると正弦定理より BC/sin(π/3) = 2s。BC = AB = 8√3 だから 8√3/(√3/2) = 2s、よって s = 8。

　S の中心を T とする。辺 AB の中点を D とすると、OD = (1/2)AB = 4√3（直角二等辺三角形の斜辺の中点までの距離）、DT = (1/2)AT = 4。O, D, T はこの順に一直線上にあるので OT = OD + DT = 4√3 + 4 = 4 + 4√3。

　よって R = OT + s = (4 + 4√3) + 8 = 12 + 4√3、r = OT - s = (4 + 4√3) - 8 = -4 + 4√3。

(4) テ = 6、ト = 2、ナ = 4、ニ = 6、ヌ = 2、ネ = 6

　arg z が最大・最小になる点 X, Y では、直線 OX, OY は円 S の接線になる。線分 XY の中点を M(μ) とすると、△OMX ∽ △OXT より OX : OM = OT : OX、すなわち OX^2 = OT・OM。

　一方、三平方の定理より OX^2 = OT^2 - TX^2 = (4 + 4√3)^2 - 8^2 = 16 + 32√3 + 48 - 64 = 32√3。

　よって OM = OX^2/OT = 32√3/(4 + 4√3) = 8√3/(1 + √3)。

　また arg μ = arg γ = 7π/12 であり、加法定理より

　cos(7π/12) = cos(π/3 + π/4) = (1/2)(1/√2) - (√3/2)(1/√2) = (1 - √3)/(2√2)

　sin(7π/12) = sin(π/3 + π/4) = (√3/2)(1/√2) + (1/2)(1/√2) = (1 + √3)/(2√2)

　したがって

　μ = OM(cos(7π/12) + i sin(7π/12)) = (8√3/(1+√3)) × ((1-√3)/(2√2) + i(1+√3)/(2√2))

　 = 2√6(-2 + √3) + 2√6 i = 6√2 - 4√6 + 2√6 i。