大問Ⅰ　合同式による不定方程式、階乗に含まれる素因数の個数、二項係数の素因数分解と約数の個数・最大公約数と最小公倍数数学A(整数の性質)・難易度 標準　

(1) ア = 6、イウエ = 986、オカ = 29

　M の要素を m とすると、0 以上の整数 s, t を用いて m = 5s + 1 = 7t + 6 と表せる。よって 5(s-1) = 7t。5 と 7 は互いに素なので、0 以上の整数 u を用いて s = 7u + 1、t = 5u と表せる。したがって m = 5(7u+1) + 1 = 35u + 6。

　1 ≦ m ≦ 1000 より 1 ≦ 35u + 6 ≦ 1000、すなわち -5 ≦ 35u ≦ 994。u は 0 以上の整数なので u = 0, 1, …, 28 の 29 個。

　u = 0 のとき最小で m = 6、u = 28 のとき最大で m = 35・28 + 6 = 986。要素の個数は 29。

(2)(i) キク = 20、ケ = 6、コ = 2

　60 = 3・20 より 3^1 の倍数は 3・k (k = 1, …, 20) の 20 個。

　60 = 3^2・6 + 6 より 3^2 の倍数は 9・k (k = 1, …, 6) の 6 個。

　60 = 3^3・2 + 6 より 3^3 の倍数は 27・k (k = 1, 2) の 2 個。

(2)(ii) サシ = 56、スセ = 28

　2 についても同様に数えると、60 以下で 2^1 の倍数は 30 個、2^2 の倍数は 15 個、2^3 の倍数は 7 個、2^4 の倍数は 3 個、2^5 の倍数は 1 個。2^6 = 64 > 60 なので、60! に含まれる素因数 2 の個数は

　a = 30 + 15 + 7 + 3 + 1 = 56。

　3 については (i) の結果を使い、3^4 = 81 > 60 なので

　b = 20 + 6 + 2 = 28。

(3)(i) ソ = 5、タチ = 48

　₂₀C₁₀ = 20!/(10!10!) を約分すると ₂₀C₁₀ = 19・17・13・11・2^2。

　異なる素因数は 19, 17, 13, 11, 2 の 5 個。

　正の約数の個数は、指数がそれぞれ 1, 1, 1, 1, 2 なので (1+1)^4 × (2+1) = 2・2・2・2・3 = 48。

(3)(ii) ツ = 4、テ = 3、トナ = 12

　₂₀C₉ = ₂₀C₁₀ × 10÷11 = 19・17・13・5・2^3。

　₂₀C₈ = ₂₀C₉ × 9÷12 = ₂₀C₉ × 3÷4 = 19・17・13・5・3・2。

　よって ₂₀C₉/₂₀C₈ = (19・17・13・5・2^3)/(19・17・13・5・3・2) = 2^2÷3 = 4/3。

　また G = 19・17・13・5・2、L = 19・17・13・5・3・2^3 なので L/G = 3・2^2 = 12。

(3)(iii) ニ = 7

　₂₀C₀ = 1 は 13 で割り切れない。1 ≦ m ≦ 10 のとき ₂₀Cm = ₂₀Pm/m! であり、0 ≦ m ≦ 10 より分母の m! は 13 を素因数に含まない。したがって ₂₀Cm が 13 で割り切れないのは、分子 ₂₀Pm = 20・19・…・(20-m+1) が 13 を含まないときである。

　20 - m + 1 ≧ 14、すなわち m ≦ 7 のとき分子に 13 は現れないので割り切れない。

　20 - m + 1 ≦ 13、すなわち 8 ≦ m ≦ 10 のときは分子に 13 が現れ、分母には現れないので割り切れる。

　よって 13 で割り切れない最大の m は m = 7。