大問Ⅲ　空間の3点が定める平面、平面に関する対称点、四面体の体積と内接球、2線分上の動点間の距離の最小値数学C(空間ベクトル)・難易度 やや難　

(1) ア = 2、イ = 2、ウ = 3、エ = 6、オ = 3

　AB→ = (-2, 0, 2)、AC→ = (-2, 2, 1)。

　|AB→| = √((-2)^2 + 0^2 + 2^2) = √8 = 2√2。

　|AC→| = √((-2)^2 + 2^2 + 1^2) = √9 = 3。

　AB→・AC→ = (-2)(-2) + 0・2 + 2・1 = 4 + 2 = 6。

　△ABC = (1/2)√(|AB→|^2|AC→|^2 - (AB→・AC→)^2) = (1/2)√((2√2)^2・3^2 - 6^2) = (1/2)√(72 - 36) = (1/2)・6 = 3。

(2) カ = 0、キ = 1、ク = 3、ケ = 2、コ = 9

　3点 O, H, P は同一直線上にあり OH ⊥ α なので、OH→ は α 上の任意のベクトルと垂直。AB→ は α 上にあるから OH→・AB→ = 0。

　AH→ = s AB→ + t AC→ とおくと OH→ = OA→ + AH→ = OA→ + s AB→ + t AC→。

　OA→・AB→ = (2,0,0)・(-2,0,2) = -4、OA→・AC→ = (2,0,0)・(-2,2,1) = -4。

　OH→・AB→ = 0 より -4 + s・8 + t・6 = 0 ……①

　OH→・AC→ = 0 より -4 + s・6 + t・9 = 0 ……②

　①、② を解いて s = 1/3、t = 2/9。よって AH→ = (1/3)AB→ + (2/9)AC→。

(3) サシ = 16、ス = 9

　H は線分 OP の中点なので OP→ = 2OH→ = 2(OA→ + AH→)

　 = 2{(2,0,0) + (1/3)(-2,0,2) + (2/9)(-2,2,1)} = (8/9)(2, 1, 2)。

　よって P の x 座標は 16/9。

(4) セ = 4、ソ = 3

　PH = (1/2)|OP→| = (1/2)・(8/9)√(2^2+1^2+2^2) = (1/2)・(8/9)・3 = 4/3。

　V = (1/3)・△ABC・PH = (1/3)・3・(4/3) = 4/3。

(5) タ = 7、チ = 5、ツテ = 11

　D から4面に下ろした垂線の長さを h とすると、四面体 PABC を D を頂点とする4つの四面体に分けて

　V = (1/3)(△ABC + △PAB + △PBC + △PCA)h ……③

　P は O と平面 α に関して対称なので、側面 △PAB, △PBC, △PCA を対称移動すると（P は O に移る）面積は変わらない。すなわち

　△PAB = △OAB = (1/2)・OA・OB = (1/2)・2・2 = 2

　△PBC = △OBC = (1/2)・OB・(C の y 座標) = (1/2)・2・2 = 2

　△PCA = △OCA = (1/2)・OC・OA = (1/2)・√5・2 = √5

　これらと (1), (4) の結果を ③ に代入して 4÷3 = (1/3)(3 + 2 + 2 + √5)h。

　よって h = 4/(7 + √5) = 4(7 - √5)/(7^2 - 5) = (7 - √5)/11。

(6) ト = 4、ナ = 3

　点 Q を平面 ABC に関して対称移動した点を Q' とする。線分 OC と PC は平面 α に関して対称なので、Q が線分 PC 上を動くとき Q' は線分 OC 上を動く。線分 AB と点 R は平面 α 上にあるので対称移動で変わらない。よって |QR→| と |Q'R→| の最小値は等しい。

　OQ'→ = s OC→ = s(0, 2, 1) (0 ≦ s ≦ 1)、OR→ = OA→ + t AB→ = (2-2t, 0, 2t) (0 ≦ t ≦ 1) と表せる。

　Q'R→ = OR→ - OQ'→ = (2-2t, -2s, 2t-s)。

　|Q'R→|^2 = (2-2t)^2 + (-2s)^2 + (2t-s)^2 = 5s^2 - 4st + 8t^2 - 8t + 4

　 = 5(s - (2/5)t)^2 + (36/5)t^2 - 8t + 4

　 = 5(s - (2/5)t)^2 + (36/5)(t - 5/9)^2 + 16/9。

　s = (2/5)t かつ t = 5/9、すなわち s = 2/9、t = 5/9（いずれも範囲内）のとき最小値 16/9 をとる。

　したがって |QR→| の最小値は 4/3。