大問Ⅱ　絶対値を含む2次関数の定積分、接線と囲まれた面積、パラメータを含む面積関数の最小値数学II(微分積分)・難易度 標準　

(1)(i) ア = 0、イ = 3

　f(x) = |2x^2 - ax| = 2|x(x - a/2)| とおく。a = 6 のとき f(x) = 2|x(x-3)|。f(x) = 0 とすると x = 0, 3。小さい順に 0, 3。

(1)(ii) ウ = 9

　0 ≦ x ≦ 3 では 2x^2 - 6x ≦ 0 なので

　S(6) = ∫[0,3] |2x^2 - 6x| dx = -2∫[0,3] x(x-3) dx = 2 × (1/6)(3-0)^3 = 9。

(1)(iii) エ = 2、オ = 2、カ = 2、キ = 5、クケコ = -18、サシ = 40、ス = 5、セ = 3

　a = 6 のとき 0 < x < 3 では C: y = -2x^2 + 6x なので y' = -4x + 6。x = 1 で y = 4、y' = 2。

　接線は y = 2(x-1) + 4 = 2x + 2。よって エ = 2、オ = 2。

　x ≦ 0, 3 ≦ x では C: y = 2x^2 - 6x。これと l の共有点を求めると 2x^2 - 6x = 2x + 2、すなわち x^2 - 4x - 1 = 0。よって x = 2 ± √5。どちらも x ≦ 0 または 3 ≦ x を満たすので適する。よって カ = 2、キ = 5。

　C と l で囲まれた2つの部分の面積の和を T とすると

　T = ∫[2-√5, 2+√5] {(2x+2) - (2x^2-6x)} dx - 2∫[0,3] (-2x^2+6x) dx

　 = -2∫[2-√5, 2+√5] (x^2-4x-1) dx + 4∫[0,3] x(x-3) dx

　 = 2/6 × {(2+√5) - (2-√5)}^3 - 4/6 × (3-0)^3

　 = (1/3)(2√5)^3 - 18 = 40√5/3 - 18。

　よって クケコ = -18、サシ = 40、ス = 5、セ = 3。

(2) ソタ = 16、チ = 3

　0 < a < 6 のとき、区間 [0,3] は x = a/2 をまたぐので

　S(a) = ∫[0,a/2] (-2x^2+ax) dx + ∫[a/2,3] (2x^2-ax) dx

　 = 2 × (1/6)(a/2 - 0)^3 + (18 - 9a/2) - (a^3/12 - a^3/8)

　 = a^3/12 - 9a/2 + 18。

　a = 4 のとき S(4) = 64/12 - 36/2 + 18 = 16/3。

(3) ツテ = 18、ト = 9、ナ = 2、ニ = 3、ヌ = 2

　a ≧ 6 のとき区間 [0,3] 全体で 2x^2 - ax ≦ 0 なので

　S(a) = ∫[0,3] (-2x^2+ax) dx = -18 + 9a/2 となり、a ≧ 6 では単調に増加する。

　0 < a < 6 のとき (2) より S(a) = a^3/12 - 9a/2 + 18 なので

　S'(a) = a^2/4 - 9÷2 = (1/4)(a^2 - 18) = (1/4)(a + 3√2)(a - 3√2)。

　0 < a < 6 で S'(a) = 0 となるのは a = 3√2（3√2 ≒ 4.24 < 6 で範囲内）。増減表より a = 3√2 で最小。

　S(3√2) = (3√2)^3/12 - (9/2)・3√2 + 18 = 54√2/12 - 27√2/2 + 18 = 9√2/2 - 27√2/2 + 18 = 18 - 9√2。

　よって最小値は 18 - 9√2、そのときの a は a = 3√2。