大問Ⅳ　対数を含む関数の微分、接線、原点を通る接線、三角形の回転体の体積、面積の極限数学III(微分法・積分法)・難易度 やや難　

(1) ア = 2、イウ = -4、エ = 8

　Aのx座標は f(x) = 0 の x > 0 における解である。-2x²log(x/2) = 0 で x > 0 だから log(x/2) = 0、すなわち x ÷ 2 = 1 より x = 2 である。

　積の微分法より f'(x) = -4x・log(x/2) - 2x²・(1/x) = -2x{2log(x/2) + 1} だから、f'(2) = -2・2・(0 + 1) = -4 である。

　よって ℓ の方程式は y = -4(x - 2)、すなわち y = -4x + 8 である。

(2) オ = 4、カキ = -1、ク = 2、ケコ = -1、サ = 2

　x > 0 で f'(x) = 0 となるのは 2log(x/2) + 1 = 0、すなわち log(x/2) = -(1/2) より x = 2e^(-(1/2)) のときである。

　0 < x < 2e^(-(1/2)) では log(x/2) < -(1/2) だから f'(x) > 0、x > 2e^(-(1/2)) では f'(x) < 0 となるので、f(x) は x = 2e^(-(1/2)) で最大になる。

　このとき x² = 4e^(-1)、log(x/2) = -(1/2) だから、最大値は -2・4e^(-1)・(-(1/2)) = 4e^(-1) である。

(3) シ = 2、スセ = -1、ソタチ = 128、ツ = 3、テト = -4

　C上の点 (t, f(t)) における接線は y = f'(t)(x - t) + f(t) で、これが原点を通る条件は 0 = -t f'(t) + f(t)、すなわち f(t) = t f'(t) である。

　-2t²log(t/2) = t・(-2t){2log(t/2) + 1} の両辺を -2t²（t > 0 より 0 でない）で割ると log(t/2) = 2log(t/2) + 1、よって log(t/2) = -1 となり t = 2e^(-1) である。Bのx座標は 2e^(-1) である。

　このとき f(2e^(-1)) = -2・(2e^(-1))²・(-1) = -2・4e^(-2)・(-1) = 8e^(-2) だから B(2e^(-1), 8e^(-2)) である。

　Bからx軸に下ろした垂線の足をHとすると、△OABをx軸の周りに1回転させた立体は、底面の半径が BH = 8e^(-2) で高さがそれぞれ OH、HA の2つの円錐を合わせたものである。

　体積は (1/3)π・BH²・OH + (1/3)π・BH²・HA = (1/3)π・BH²・OA = (1/3)π・(8e^(-2))²・2 = (128/3)πe^(-4) である。

(4) ナニ = 56、ヌ = 9

　0 < t < 1 を満たす t に対し、区間 t ≦ x ≦ 2 では ℓ がCより上にあるから S(t) = ∫[t から 2 まで]{(-4x + 8) - f(x)}dx である。

　-(2/3)x³log(x/2) + (2/9)x³ を微分すると -2x²log(x/2) - (2/3)x² + (2/3)x² = -2x²log(x/2) = f(x) となるので、これが f(x) の原始関数である。

　よって ∫[t から 2 まで]f(x)dx = {0 + (2/9)・8} - {-(2/3)t³log(t/2) + (2/9)t³} = (16/9) + (2/3)t³log(t/2) - (2/9)t³ であり、∫[t から 2 まで](-4x + 8)dx = (-8 + 16) - (-2t² + 8t) = 8 + 2t² - 8t である。

　したがって S(t) = 8 + 2t² - 8t - (16/9) - (2/3)t³log(t/2) + (2/9)t³ = (56/9) + 2t² - 8t + (2/9)t³ - (2/3)t³log(t/2) である。

　lim[x→+0]f(x) = 0 より lim[t→+0] t³log(t/2) = 0 だから、lim[t→+0]S(t) = (56/9) である。