大問Ⅰ　2円上を動く2点、差のとりうる値の範囲、線分の長さの範囲、線分の通過領域の面積、共通内接線となす角の正接、直線の傾きの最大値数学II(図形と方程式)・数学C(平面上のベクトル)・難易度 やや難　

(1) ア = 8、イ = 1、ウ = 6

　A(4√3, 4) だから OA = √((4√3)² + 4²) = √(48 + 16) = √64 = 8 である。

　直線OAの傾きは 4÷(4√3) = 1/√3 なので tanα = 1/√3 であり、0 < α < π/2 より α = (1/6)π である。

(2) エオ = -2、カキ = 10

　Pは原点中心・半径1の円周上にあるから -1 ≦ p ≦ 1 である。Qは中心のy座標が4で半径5の円周上にあるから 4 - 5 ≦ q ≦ 4 + 5、すなわち -1 ≦ q ≦ 9 である。

　p と q は独立に動くので、q - p の最小値は (-1) - 1 = -2、最大値は 9 - (-1) = 10 である。

(3) ク = 2、ケコ = 14

　2円の中心間距離は OA = 8 で、半径の和 1 + 5 = 6 より大きいから、2円は互いに外部にあって共有点をもたない。

　したがって PQ の最小値は OA - 1 - 5 = 2、最大値は OA + 1 + 5 = 14 である。

(4) サシ = 24、ス = 3、セソ = 17

　円C₁の周上の点と円C₂の周上の点を結ぶ線分すべての和集合Dは、2つの円板の凸包、すなわち2本の共通外接線と2つの弧で囲まれた図形である。

　共通外接線とOAのなす角をφとすると sinφ = (5 - 1)÷8 = (1/2) より φ = (1/6)π であり、接点におけるC₁の半径とOA→のなす角は (π/2) + φ = (2/3)π である。

　よってC₁側の扇形の中心角は 2{π - (2/3)π} = (2/3)π、C₂側の扇形の中心角は 2・(2/3)π = (4/3)π、2つの接点を結ぶ線分の長さは √(8² - (5 - 1)²) = √48 = 4√3 である。

　面積は (1/2)・1²・(2/3)π + (1/2)・5²・(4/3)π + 2・(1/2)(1 + 5)・4√3 = (1/3)π + (50/3)π + 24√3 = 24√3 + 17π である。

　【別解】(4) 領域Dは直線OAについて対称なので、OAより上側の部分を2倍してもよい。上側は「C₂側の扇形」「台形（OとAと2つの接点が作る図形）」「C₁側の扇形」に分かれ、2{(1/2)・5²・(2/3)π + (1/2)(1 + 5)・4√3 + (1/2)・1²・(1/3)π} と計算しても同じ値になる。

(5) タ = 0、チ = 3、ツ = 7、テ = 7

　P, Q をともに直線OA上にとれば PQ→ は OA→ と同じ向きになり β = 0、すなわち tanβ = 0 となるから、これが最小値である。

　2円は共有点をもたないので β が π/2 以上になることはなく、β が最大になるのは直線PQが2円の共通内接線に一致するときである。

　共通内接線とOAの交点をTとすると、2円の半径比 1 : 5 より OT = 8・1÷(1 + 5) = (4/3) である。C₁との接点をRとすると ∠ORT = π/2 だから RT = √((4/3)² - 1²) = √(7/9) = (√7)/3 である。

　よって tanβ の最大値は OR÷RT = 1÷((√7)/3) = 3/√7 = (3√7)/7 である。

(6) ト = 4、ナ = 3、ニ = 3、ヌ = 7

　直線PQとx軸のなす角をγとすると m = tanγ であり、OA→ とx軸のなす角がαであることから β = |α - γ| が成り立つ。

　(5) より 0 ≦ β ≦ θ（ただし tanθ = (3√7)/7、0 < θ < π/2）だから α - θ ≦ γ ≦ α + θ であり、tanα = 1/√3、tanθ = 3/√7 より α + θ < π/2 である。よって m は γ = α + θ のとき最大になる。

　正接の加法定理より

　tan(α + θ) = (1/√3 + 3/√7)÷(1 - (1/√3)・(3/√7)) = (√7 + 3√3)÷(√21 - 3) = ((√7 + 3√3)(√21 + 3))÷(21 - 9) = (7√3 + 3√7 + 9√7 + 9√3)÷12 = (16√3 + 12√7)÷12 = (4√3)/3 + √7

　であり、これは正だから m の最大値は (4√3)/3 + √7 である。