大問Ⅱ　ガウス記号[√n]で定まる数列、群数列への分割、和の素因数分解、和が与えられた値を超える最小の自然数、倍数の個数と和数学B(数列)・数学A(整数の性質)・難易度 やや難　

(1) ア = 3、イウ = 10、エオ = 44

　3² = 9 ≦ 10 < 16 = 4² だから [√10] = 3 である。

　10² = 100 だから [√100] = 10 である。

　44² = 1936、45² = 2025 で 1936 ≦ 2024 < 2025 だから [√2024] = 44 である。

(2)(i) カキ = 19、クケコ = 625

　a_n = k となるのは k² ≦ n ≦ (k + 1)² - 1 のときで、この範囲には (k + 1)² - k² = 2k + 1 個の項がある。この並びを第k群とよぶ。

　S₁₀ = 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 3 + 3 = 19 である。

　√100 = 10 より a₁₀₀ は第10群の最初の項だから、S₁₀₀ = Σ[k = 1 から 9 まで](2k + 1)k + 10 = Σ(2k² + k) + 10 = 2・(9・10・19)÷6 + (9・10)÷2 + 10 = 570 + 45 + 10 = 625 である。

(2)(ii) サシス = 181

　2024 = 45² - 1 だから a₂₀₂₄ は第44群の最後の項である。

　S₂₀₂₄ = Σ[k = 1 から 44 まで](2k + 1)k = 2・(44・45・89)÷6 + (44・45)÷2 = 58740 + 990 = 59730 である。

　59730 = 2・3・5・11・181 と素因数分解できるから、最大の素因数は 181 である。

(2)(iii) セソタ = 217

　第13群の最後の項（n = 14² - 1 = 195）までの和は Σ[k = 1 から 13 まで](2k + 1)k = 2・(13・14・27)÷6 + (13・14)÷2 = 1638 + 91 = 1729 で、2024 を超えていない。

　第14群は n = 196 から n = 224 までの 29 項で、どの項も a_n = 14 だから、196 ≦ n ≦ 224 のとき S_n = 1729 + 14(n - 195) である。

　S_n > 2024 は 14(n - 195) > 295、すなわち n - 195 > 21.07… と同値だから n ≧ 217。実際 S₂₁₆ = 2023、S₂₁₇ = 2037 なので、最小の自然数 n は 217 である。

　【別解】(2) 群に分けず、a_n = m となる項の和 T_m = Σ[k = m² から (m + 1)² - 1 まで] a_k = m{(m + 1)² - m²} = m(2m + 1) を直接作ってもよい。

　これを m = 1 から m - 1 まで加えると S_(m² - 1) = (1/6)m(m - 1)(4m + 1) が得られ、m = 10 として S₉₉ = (1/6)・10・9・41 = 615、よって S₁₀₀ = 615 + a₁₀₀ = 615 + 10 = 625 と求まる。

(3)(i) チ = 0、ツテ = 10

　実数 x について x = [x] が成り立つのは x が整数のときだから、規則1は「n が a_n の倍数ならば b_n = n ÷ a_n」、規則2は「そうでなければ b_n = 0」と言いかえられる。

　a₁₀ = 3 で 10 は 3 の倍数でないから b₁₀ = 0 である。

　a₁₀₀ = 10 で 100 = 10・10 だから b₁₀₀ = 100 ÷ 10 = 10 である。

(3)(ii) トナ = 28

　第k群は k² ≦ n ≦ (k + 1)² - 1 = k² + 2k の範囲で、ここでは a_n = k である。この範囲にある k の倍数は k², k(k + 1), k(k + 2) のちょうど3個である。

　1 ≦ n ≦ 100 は第1群から第9群までの全体（n = 1 から 99 まで）と、第10群の最初の項 n = 100 からなる。

　第1群から第9群までで 3・9 = 27 個、n = 100 は a₁₀₀ = 10 の倍数だから1個。合計 27 + 1 = 28 個である。

(3)(iii) ニヌネ = 172

　第k群で b_n > 0 となるのは n = k², k(k + 1), k(k + 2) のときで、そのときの b_n はそれぞれ k, k + 1, k + 2 である。

　よって第k群に属する b_n の和は k + (k + 1) + (k + 2) = 3k + 3 である。

　Σ[k = 1 から 100 まで] b_k = Σ[k = 1 から 9 まで](3k + 3) + b₁₀₀ = 3・45 + 3・9 + 10 = 135 + 27 + 10 = 172 である。