大問Ⅲ　底の変換公式、対数方程式、置きかえによる2次関数の最小、対数不等式と真数条件、相加平均と相乗平均の関係、常用対数による桁数と最高位の数字数学II(指数関数と対数関数)・難易度 標準　

(1) ア = 5、イ = 2

　底の変換公式より log₁₆1024 = (log₂1024)÷(log₂16) である。

　1024 = 2¹⁰、16 = 2⁴ だから log₂1024 = 10、log₂16 = 4 で、log₁₆1024 = 10 ÷ 4 = (5/2) である。

(2) ウ = 1、エ = 2

　log₁₆x = -(1/4) は対数の定義より x = 16^(-(1/4)) と同値である。

　16 = 2⁴ だから x = (2⁴)^(-(1/4)) = 2^(-1) = (1/2) である。

(3) オカ = -7、キクケ = 256

　s = log₁₆x とおくと、x が正の実数全体を動くとき s は実数全体を動く。log₁₆x⁴ = 4log₁₆x = 4s だから f(x) = s² - 4s - 3 = (s - 2)² - 7 である。

　よって s = 2 のとき最小値 -7 をとる。

　s = 2 すなわち log₁₆x = 2 より x = 16² = 256 である。

(4) コサ = -2、シス = -1、セ = 8、ソ = 9

　真数条件より 9 - x > 0 かつ (1/2)x + 1 > 0、すなわち -2 < x < 9 である。……①

　底を4にそろえる。2log₁₆(9 - x) = 2・(log₄(9 - x))÷(log₄16) = log₄(9 - x)、1 ÷ log₁₀4 = log₄10、log_(1/4){(1/2)x + 1} = -log₄{(1/2)x + 1}、1 = log₄4、(1/2) = log₄2 である。

　よって不等式は log₄{4(9 - x)} < log₄2 + log₄10 - log₄{(1/2)x + 1}、すなわち log₄[4(9 - x){(1/2)x + 1}] < log₄20 となる。

　底 4 > 1 だから 4(9 - x){(1/2)x + 1} < 20、整理して 2(9 - x)(x + 2) < 20、(9 - x)(x + 2) < 10 である。

　-x² + 7x + 18 < 10 より x² - 7x - 8 > 0、(x + 1)(x - 8) > 0 だから x < -1 または x > 8 である。

　① との共通部分をとって -2 < x < -1、8 < x < 9 である。

(5) タ = 5、チ = 2、ツ = 9、テ = 3

　t = log₄x とおくと、x > 1 より t > 0 である。

　log₁₆x = (log₄x)÷(log₄16) = (1/2)t、log_x1024 = (log₄1024)÷(log₄x) = 5 ÷ t だから 10log_x1024 = 50 ÷ t、また (1/2)log_(1/4)√x = (1/2)・(log₄√x)÷(log₄(1/4)) = (1/2)・((1/2)t)÷(-1) = -(1/4)t である。

　よって g(x) = (1/2)t + 50 ÷ t - (1/4)t = (1/4)t + 50 ÷ t となる。t > 0 だから相加平均と相乗平均の関係より (1/4)t + 50 ÷ t ≧ 2√((1/4)t・50 ÷ t) = 2√(25/2) = 5√2 で、等号は (1/4)t = 50 ÷ t すなわち t = 10√2 のとき成り立つ。最小値は 5√2 である。

　このとき log₄x = 10√2 より x = 4^(10√2) で、log₁₀x = 10√2・log₁₀4 = 20√2・0.3010 である。

　(20√2・0.3010)² = 800・0.09060100 = 72.4808 であり、8.51² = 72.4201、8.52² = 72.5904 だから 8.51 < log₁₀x < 8.52 である。よって 10⁸ < x < 10⁹ となり、N の桁数は 9 である。

　さらに log₁₀x = 8 + 0.51… で、log₁₀3 = 0.4771 < 0.51 < 0.6020 = log₁₀4 だから 3・10⁸ < x < 4・10⁸ である。よって N の最高位の数字は 3 である。