大問Ⅳ　楕円の焦点と焦点距離の和、定点を通る直線、楕円に接する条件と接点、楕円上の点との距離の最大、直交する2接線の交点の軌跡（準円）数学C(式と曲線)・難易度 やや難　

(1) ア = 3、イ = 0、ウ = 4、エ = 3

　C は長軸が x 軸上にある楕円で、a² = 12、b² = 3 だから c² = 12 − 3 = 9、すなわち c = 3 である。

　よって焦点は (±3, 0) であり、x 座標が大きいほうは F(3, 0) である。

　楕円上の点から2焦点までの距離の和は長軸の長さに等しいから、PF + PF' = 2√12 = 4√3 である。

(2) オ = 4、カ = 0

　ℓ の方程式 kx − y = 4k を k について整理すると k(x − 4) − y = 0 である。

　これが k の値によらず成り立つのは x − 4 = 0 かつ y = 0 のときである。

　よって定点は (4, 0) である。

(3)(i) キ = -、ク = 3、ケ = 2

　ℓ は y = k(x − 4) だから C の式に代入すると x² + 4k²(x − 4)² = 12、すなわち (1 + 4k²)x² − 32k²x + 64k² − 12 = 0 となる。

　接するのは判別式が 0 のときで、(16k²)² − (1 + 4k²)(64k² − 12) = −16k² + 12 = 0 より k² = (3/4) である。

　k < 0 だから k = −((√3)/2) であり、答案では ［キ］ の欄に符号 − を記入する。

(ii) コ = 3、サ = 3、シ = 2

　接するとき (1 + 4k²)x² − 32k²x + 64k² − 12 = 0 は重解をもち、その解は x = 16k²/(1 + 4k²) である。

　k² = (3/4) を代入すると分子は 16·(3/4) = 12、分母は 1 + 3 = 4 だから x = 3 である。

　y = k(x − 4) に x = 3, k = −((√3)/2) を代入して y = ((√3)/2) だから、Q(3, (√3)/2) である。

(iii) ス = 4、セソ = 39、タチ = 13、ツ = 3

　OQ = √(9 + (3/4)) = (√39)/2 で、直線OQ は √3 x − 6y = 0 だから、C 上の点 P(2√3 cosθ, √3 sinθ) との距離は |6cosθ − 6√3 sinθ|÷√39 である。

　6cosθ − 6√3 sinθ = 12cos(θ + (π/3)) だから距離の最大値は 12÷√39 = (4√39)/13 である。

　△OPQ の面積はこのとき最大で、(1/2)·((√39)/2)·(12÷√39) = 3 である。

(4)(i) テト = 15

　楕円 (x²/a²) + (y²/b²) = 1 に引いた2本の接線が直交する点の軌跡は、原点を中心とする半径 √(a² + b²) の円（準円）である。

　ここでは a² = 12、b² = 3 だから D は x² + y² = 15 である。

　x 軸の正の部分との交点は x = √15 である。

(ii) ナ = -、ニヌ = 15

　D は円 x² + y² = 15 だから、D と直線 ℓ がただ1つの共有点をもつのは ℓ が D に接するときである。

　ℓ: kx − y − 4k = 0 と原点の距離は |−4k|÷√(k² + 1) であり、これが √15 に等しいから 16k² = 15(k² + 1)、すなわち k² = 15 である。

　k < 0 だから k = −√15 であり、答案では ［ナ］ の欄に符号 − を記入する。