大問Ⅱ　定数とみなす変数についての定積分、合成による三角関数の最大、絶対値付き定積分の場合分け、最大値を与える tan x数学II(三角関数・積分法)・難易度 やや難　

(1)(i) アイ = -3、ウ = 3

　t についての積分では sin x, cos x は定数とみなせるので、∫[−1 から 3] (sin x − t cos x)dt = 4 sin x − cos x·(1/2){3² − (−1)²} = 4 sin x − 4 cos x である。

　よって f(x) = cos x(4 sin x − 4 cos x) であり、cos(π/6) = (√3)/2、sin(π/6) = (1/2) を代入すると f((π/6)) = ((√3)/2)(2 − 2√3) = √3 − 3 である。

(ii) エオ = -2、カ = 2、キ = 2、ク = 3、ケ = 8

　f(x) = 4 sin x cos x − 4cos²x = 2 sin 2x − 2(1 + cos 2x) = 2 sin 2x − 2 cos 2x − 2 = 2√2 sin(2x − (π/4)) − 2 である。

　−(π/2) ≦ x ≦ (π/2) より 2x − (π/4) は −(5π/4) 以上 (3π/4) 以下を動き、この範囲に (π/2) が含まれるので sin(2x − (π/4)) の最大値は 1 である。

　したがって最大値は 2√2 − 2 = −2 + 2√2 であり、2x − (π/4) = (π/2) より x = (3/8)π である。

(2)(i) コ = 1、サ = 3

　x = −(π/3) のとき cos x = (1/2)、sin x = −((√3)/2) だから sin x − t cos x = −(1/2)(√3 + t) であり、−1 ≦ t ≦ 3 では √3 + t > 0 なのでつねに負である。

　よって |sin x − t cos x| = (1/2)(√3 + t) となり、∫[−1 から 3] (1/2)(√3 + t)dt = (1/2){4√3 + (1/2)(9 − 1)} = 2√3 + 2 である。

　したがって g(−(π/3)) = (1/2)(2√3 + 2) = 1 + √3 である。

(ii) シ = 4、ス = 3、セ = 2

　x = (π/6) のとき cos x = (√3)/2、sin x = (1/2) だから sin x − t cos x = (1/2) − ((√3)/2)t であり、これは t = (1/√3) で 0 になり、その前後で符号が変わる。

　t の1次関数の絶対値の積分は2つの三角形の面積の和で、t = −1 から (1/√3) までが (1/2)((1/√3) + 1)·((1 + √3)/2) = (2√3 + 3)/6、t = (1/√3) から 3 までが (1/2)(3 − (1/√3))·((3√3 − 1)/2) = (14√3 − 9)/6 である。

　和は (16√3 − 6)/6 = (8√3 − 3)/3 だから、g((π/6)) = ((√3)/2)·((8√3 − 3)/3) = (24 − 3√3)/6 = 4 − ((√3)/2) である。

(iii) ソ = 3、タ = 5、チ = 2、ツ = 5

　|x| < (π/2) では cos x > 0 で sin x − t cos x = cos x(tan x − t) だから、符号が変わる t の値 tan x が区間 [−1, 3] の内部にあるかどうかで場合分けする。x = ±(π/2) のときは cos x = 0 より g(x) = 0 である。

　tan x ≦ −1 のとき、−1 ≦ t ≦ 3 でつねに tan x − t ≦ 0 だから ∫[−1 から 3] |sin x − t cos x| dt = cos x(4 − 4tan x) = 4cos x − 4 sin x となり、g(x) = 4cos²x − 4 sin x cos x = 2 + 2√2 cos(2x + (π/4)) で、最大値は x = −(π/4) のときの 4 である。tan x ≧ 3 のときは同様に g(x) = 4 sin x cos x − 4cos²x = 2√2 sin(2x − (π/4)) − 2 となり、tan x ≧ 3 の範囲での値は 1 より小さい。

　−1 < tan x < 3 のときは絶対値の中が符号を変えるので、積分は2つの三角形の面積の和になり ∫ = (cos x/2){(tan x + 1)² + (3 − tan x)²}·cos x であるから、g(x) = (1/2){(sin x + cos x)² + (3cos x − sin x)²} = sin²x + 5cos²x − 2 sin x cos x = 3 + 2cos 2x − sin 2x となり、最大値は 3 + √5 である。3 + √5 > 4 だからこれが全体の最大値である。

　最大となる x では g'(x) = −4 sin 2x − 2cos 2x = 0 であり、両辺を 2cos²x で割って整理すると tan²x − 4tan x − 1 = 0、すなわち tan x = 2 ± √5 となるので、−1 < tan x < 3 を満たす tan x = 2 − √5 が答えである。