大問Ⅰ　同時に取り出す確率、色の変化を伴う反復試行、条件付き確率、原因の確率数学A(場合の数と確率)・難易度 標準　

(1) ア = 1、イ = 3、ウ = 8、エオ = 15

　10個から2個を同時に取り出す方法は ₁₀C₂ = 45 通りあり、これらは同様に確からしい。

　赤玉が2個となるのは ₆C₂ = 15 通りだから、確率は (15/45) = (1/3) である。

　赤玉と白玉が1個ずつとなるのは 6·4 = 24 通りだから、確率は (24/45) = (8/15) である。

(2) カキ = 31、クケコ = 135

　2個とも赤玉となる確率は (1/3) で、このとき袋には赤4個・白4個が残り、赤玉を1個戻すと赤5個・白4個の9個になるから、新たな1個が赤玉である確率は (5/9) である。

　2個とも白玉となる確率は (₄C₂)÷45 = (6/45) = (2/15) で、このとき袋には赤6個・白2個が残り、白玉を1個戻すと赤6個・白3個の9個になるから、新たな1個が白玉である確率は (3/9) = (1/3) である。

　2つの場合は互いに排反だから、求める確率は (1/3)·(5/9) + (2/15)·(1/3) = (5/27) + (2/45) = (31/135) である。

(3) サシ = 81、スセソ = 125

　取り出した玉と色の異なる玉を1個入れるので、袋の中の玉はつねに10個である。はじめは赤6個・白4個で、赤を取り出すと赤5個・白5個に、白を取り出すと赤7個・白3個になる。

　3個のうち赤が2個以上になるのは「1, 2回目とも赤」「赤・白・赤の順」「白・赤・赤の順」の3つの排反な場合である。

　それぞれの確率は (6/10)·(5/10) = (300/1000)、(6/10)·(5/10)·(6/10) = (180/1000)、(4/10)·(7/10)·(6/10) = (168/1000) だから、和は (648/1000) = (81/125) である。

(4)(i) タチ = 13、ツテ = 42

　残った2個が赤玉だから、取り出した3個は「赤3個（紛失したのが赤玉）」か「赤2個・白1個（紛失したのが白玉）」のいずれかであり、紛失した玉の色で場合分けして3個の取り出し方の確率をそのまま用いる。

　赤3個となる確率は (₆C₃)÷(₁₀C₃) = (1/6) で、このとき袋には赤3個・白4個が残るから A が白玉である確率は (4/7) であり、あわせて (1/6)·(4/7) = (2/21) である。

　赤2個・白1個となる確率は (₆C₂·₄C₁)÷(₁₀C₃) = (1/2) で、このとき袋には赤4個・白3個が残るから A が白玉である確率は (3/7) であり、あわせて (1/2)·(3/7) = (3/14) である。よって求める確率は (2/21) + (3/14) = (13/42) である。

(ii) ト = 9、ナニ = 13

　A が白玉である事象を E、紛失した玉が白玉である事象を F とすると、求める確率は条件付き確率 P(F|E) = P(E∩F)÷P(E) である。

　(i) の計算で P(E∩F) = (3/14)、P(E) = (13/42) が得られている。

　よって P(F|E) = (3/14)÷(13/42) = (3/14)·(42/13) = (9/13) である。