大問Ⅲ　2つの放物線の交点、6分の1公式による面積、領域における1次式の最大最小、最小値が与えられたときの定数の決定数学II(微分法・積分法)・数学II(図形と方程式)・難易度 標準　

(1) アイ = -5、ウ = 3、エ = 1

　f(x) = g(x) とおくと −(1/2)x² + x + (3/2) = x² + 2x − 1 である。

　整理すると (3/2)x² + x − (5/2) = 0、両辺を2倍して 3x² + 2x − 5 = 0、すなわち (3x + 5)(x − 1) = 0 となる。

　よって x = −(5/3), 1 であり、x 座標が小さい順に A の x 座標は −(5/3)、B の x 座標は 1 である。

(2) オ = 4、カ = 3

　A, B は放物線 y = g(x) 上の点でもあるから、g(1) = 1 + 2 − 1 = 2、g(−(5/3)) = (25/9) − (10/3) − 1 = −(14/9) である。

　直線ABの傾きは {2 − (−(14/9))}÷{1 − (−(5/3))} = (32/9)÷(8/3) である。

　これを計算して (32/9)·(3/8) = (4/3) である。

(3)(i) キクケ = 128、コサ = 27

　D は 2 曲線にはさまれた部分だから、その面積は ∫[−(5/3) から 1] {f(x) − g(x)}dx である。

　f(x) − g(x) = −(3/2)(x + (5/3))(x − 1) だから、公式 ∫[α から β](x − α)(x − β)dx = −(β − α)³/6 を用いると面積は (3/2)·(1/6)(1 + (5/3))³ である。

　(1 + (5/3))³ = (8/3)³ = (512/27) だから、面積は (3/2)·(1/6)·(512/27) = (128/27) である。

(ii) シス = 13、セ = 4、ソタチ = -17、ツ = 8

　D は g(x) ≦ y ≦ f(x)（−(5/3) ≦ x ≦ 1）で表されるから、x を固定すると −3x + 2y は y = f(x) のとき最大、y = g(x) のとき最小になる。

　最大値は −3x + 2f(x) = −x² − x + 3 の −(5/3) ≦ x ≦ 1 における最大値で、頂点 x = −(1/2) がこの範囲にあるから (13/4) である。

　最小値は −3x + 2g(x) = 2x² + x − 2 の同じ範囲での最小値で、頂点 x = −(1/4) がこの範囲にあるから −(17/8) である。

(iii) テトナ = -14、ニ = 4、ヌ = 2

　x を固定すると ax + 2y は y = g(x) のとき最小だから、h(x) = ax + 2g(x) = 2x² + (a + 4)x − 2 の −(5/3) ≦ x ≦ 1 における最小値を考える。頂点の x 座標は −(a + 4)/4 である。

　頂点がこの範囲にあるのは −8 ≦ a ≦ (8/3) のときで、最小値は −2 − (a + 4)²/8 である。これが −6 となるのは (a + 4)² = 32、すなわち a = −4 ± 4√2 であり、範囲を満たすのは a = −4 + 4√2 だけである。

　頂点が x = 1 より右にあるのは a < −8 のときで、最小値は h(1) = a + 4 = −6 より a = −10 となり範囲を満たす。頂点が x = −(5/3) より左にあるのは a > (8/3) のときで、最小値 h(−(5/3)) = −(28/9) − (5/3)a = −6 から a = (26/15) となり範囲を満たさない。よって和は (−4 + 4√2) + (−10) = −14 + 4√2 である。