大問Ⅳ　奇関数の定積分、置換による指数関数の積分、関数の最大値、面積 S(a) と極限、接線の傾きの増減、接線が定点を通る条件と解の個数数学III(微分法・積分法)・難易度 やや難　

(1) ア = 0、イ = 1、ウ = 2、エ = 1、オ = 2、カキ = -4

　f(−x) = (−x)e^(−x²) = −f(x) だから f は奇関数であり、積分区間 [−1, 1] は原点について対称なので ∫[−1 から 1] f(x)dx = 0 である。

　(e^(−x²))' = −2x e^(−x²) より f(x) = −(1/2)(e^(−x²))' だから、∫[0 から 2] f(x)dx = [−(1/2)e^(−x²)] (x = 0 から 2 まで) = (1/2) − (1/2)e^(−4) である。

(2) ク = 2、ケ = 2、コサ = -1、シ = 2

　積の微分法より f'(x) = e^(−x²) + x·(−2x)e^(−x²) = (1 − 2x²)e^(−x²) である。

　e^(−x²) > 0 だから f'(x) の符号は 1 − 2x² の符号に一致し、f(x) は x = (1/√2) で極大かつ最大になる。

　最大値は f((1/√2)) = (1/√2)e^(−1/2) = ((√2)/2)e^(−1/2) である。

(3) ス = 6、セ = 1、ソ = 2

　a > 0 のとき 0 ≦ x ≦ a で f(x) ≧ 0 だから S(a) = ∫[0 から a] f(x)dx = (1/2) − (1/2)e^(−a²) であり、a < 0 のときも f が奇関数だから同じ式になる。

　S(a) = (5/12) より (1/2){1 − e^(−a²)} = (5/12)、すなわち e^(−a²) = (1/6) だから −a² = log(1/6)、a² = log 6 である。

　a → ∞ のとき e^(−a²) → 0 だから lim[a→∞] S(a) = (1/2) である。

(4)(i) タ = 6、チ = 2、ツ = 4

　接線の傾きは g(t) = f'(t) = (1 − 2t²)e^(−t²) であり、g'(t) = (−4t)e^(−t²) + (1 − 2t²)(−2t)e^(−t²) = 2t(2t² − 3)e^(−t²) である。

　g'(t) = 0 となるのは t = 0, ±√(3/2) で、増減を調べると g(t) は t = ±√(3/2) = ±((√6)/2) で最小値 −2e^(−3/2) をとる。

　e^(−2) < e^(−3/2) より −2e^(−3/2) < −2e^(−2) < 0 であり、g は偶関数で t > 0 では最小値をはさんで減少・増加するから、g(t) = −2e^(−2) を満たす t は t > 0 に2個、t < 0 に2個の計4個ある。

(ii) テ = 1、ト = 2

　点 (t, f(t)) における接線 ℓ は y = g(t)(x − t) + f(t) である。

　ℓ が (0, 0) を通る条件は 0 = −t g(t) + f(t)、すなわち t e^(−t²) − t(1 − 2t²)e^(−t²) = 2t³e^(−t²) = 0 だから t = 0 のみで1個である。

　ℓ が (0, (1/2)) を通る条件は 2t³e^(−t²) = (1/2)、すなわち h(t) = t³e^(−t²) が (1/4) に等しいことである。t ≦ 0 では h(t) ≦ 0、t > 0 では h'(t) = t²(3 − 2t²)e^(−t²) より t = ((√6)/2) で最大値 ((3√6)/4)e^(−3/2) = 0.4099… をとり t → ∞ で 0 に近づくので、(1/4) < 0.4099… より解は2個である。