大問Ⅲ　3次方程式の実数解の個数、極値をもつ条件、極値を与える2点を通る直線の傾き、面積が等しくなる直線、2直線のなす角数学II(微分法・積分法)・難易度 やや難　

(1) ア = 0、イ = 1、ウ = 9、エ = 1

　f(x) = x{2x² − (3k + 1)x + 2k} と因数分解できるので f(0) = 0 である。

　x = 0 はつねに解だから、f(x) = 0 がただ1つの実数解をもつのは 2x² − (3k + 1)x + 2k = 0 が実数解をもたないときである。

　判別式を D とすると D = (3k + 1)² − 16k = 9k² − 10k + 1 = (9k − 1)(k − 1) であり、D < 0 より (1/9) < k < 1 である。

(2)(i) オ = 0、カ = 1、キ = 3、ク = 1、ケ = 3

　f'(x) = 6x² − 2(3k + 1)x + 2k = 2(3x − 1)(x − k) だから、f'(x) = 0 の解は x = (1/3), k である。

　f(x) が2つの異なる極値をもつにはこの2解が異なること、すなわち k ≠ (1/3) が必要で、さらに2つの極値をとる x がともに正であることから k > 0 である。

　よって 0 < k < (1/3) または (1/3) < k である。

(ii) コ = -、サ = 2、シ = 3、ス = 1、セ = 9

　α, β は (1/3) と k のどちらかだから、f((1/3)) = (9k − 1)/27、f(k) = −k³ + k² を用いる。

　直線 ℓ の傾きは {f(k) − f((1/3))}÷(k − (1/3)) であり、分子を通分すると −(3k − 1)³/27、分母は (3k − 1)/3 だから、傾きは −(3k − 1)²/9 となる。

　展開して −k² + (2/3)k − (1/9) であり、答案では ［コ］ の欄に符号 − を記入する（係数は −1 である）。

(iii) ソタ = -1、チ = 9、ツ = 5、テ = 6、ト = 4、ナ = 5

　3次曲線と直線が3点で交わるとき、囲まれる2つの部分の面積が等しいのは、3つの交点の x 座標のうち中央の値が両端の平均になるときである。

　k = (4/3) のとき f(x) = 2x³ − 5x² + (8/3)x であり、m の傾きを s とすると交点の x 座標は 0 と 2x² − 5x + (8/3) − s = 0 の2解で、2解の和は (5/2) である。2解を t, 2t とすると 3t = (5/2) より t = (5/6)、2t = (5/3) となり、2解の積から (8/3) − s = 2·(5/6)·(5/3) = (25/9)、よって s = −(1/9) である。

　(ii) より ℓ の傾きは −(3·(4/3) − 1)²/9 = −1 で、f((1/3)) = (11/27) だから ℓ は y = −x + (20/27)、m は y = −(1/9)x であり、連立して x = (5/6) を得る。

　2直線の傾きが −1 と −(1/9) だから tanθ = |(−1 + (1/9))÷(1 + (1/9))| = (4/5) である。