大問Ⅱ　四面体の展開図と中点連結定理、余弦定理、空間ベクトルの内積、垂線の足の位置ベクトル、四面体の体積数学C(空間のベクトル)・数学I(図形と計量)・難易度 やや難　

(1) ア = 6、イ = 6、ウ = 2、エ = 7、オ = 7、カ = 6、キ = 3

　展開図では A, B, C がいずれも頂点Oに重なるから、AP = OP = PB となり P は辺ABの中点である。同様に Q, R はそれぞれ辺BC, CAの中点である。

　よって AP = (1/2)AB = 6 であり、中点連結定理より QR = (1/2)AB = 6、PQ = (1/2)CA = 2√7、RP = (1/2)BC = 4 である。

　△PQR に余弦定理を用いると cos∠PQR = (PQ² + QR² − RP²)÷(2·PQ·QR) = (28 + 36 − 16)÷(2·2√7·6) = 48÷(24√7) = (2√7)/7 である。

　0 < ∠PQR < π より sin∠PQR = √(1 − (4/7)) = (√21)/7 だから、△PQR の面積は (1/2)·2√7·6·((√21)/7) = 6√3 である。

(2) クケ = 12、コ = 4、サシ = 24

　展開図を折り戻すと OP = AP = 6、OQ = BQ = 4、OR = CR = 2√7 であり、(1) より PQ = 2√7、QR = 6、RP = 4 である。

　|PQ→|² = |OQ→ − OP→|² = |OQ→|² − 2 OP→·OQ→ + |OP→|² に代入すると 28 = 16 − 2 OP→·OQ→ + 36 となり、OP→·OQ→ = 12 である。

　同様に 36 = 28 − 2 OQ→·OR→ + 16 より OQ→·OR→ = 4、16 = 36 − 2 OR→·OP→ + 28 より OR→·OP→ = 24 である。

(3) ス = 1、セソ = -1、タ = 3、チ = 7、ツ = 9、テ = 5、ト = 9

　H は平面PQR上の点であり、OH→ を OP→, OQ→, OR→ の1次結合で表したときの係数の和は 1 になるから p + q + r = 1 である。

　OH→ は平面PQRに垂直だから OH→·PQ→ = 0 かつ OH→·QR→ = 0 であり、PQ→ = OQ→ − OP→、QR→ = OR→ − OQ→ と (2) の内積の値を代入して整理すると 7q + r = 6、2q − r = 1 が得られる。

　これを解いて q = (7/9)、r = (5/9) となり、p = 1 − q − r = −(1/3) である。

(4) ナ = 8、ニ = 2

　(3) より OH→ = (1/9)(−3 OP→ + 7 OQ→ + 5 OR→) だから、|OH→|² = (1/81)(9·36 + 49·16 + 25·28 − 42·12 − 30·24 + 70·4) = (864/81) = (32/3) である。

　よって OH = √(32/3) = (4√6)/3 であり、これは △PQR を底面とみたときの四面体OPQRの高さである。

　したがって体積は (1/3)·6√3·((4√6)/3) = 8√2 である。

　（別解）OP→, OQ→, OR→ の内積を並べた行列 [[36, 12, 24], [12, 16, 4], [24, 4, 28]] の行列式は 4608 であり、体積は (1/6)√4608 = 8√2 としても求められる。