大問Ⅰ　階乗の素因数分解、素因数の指数、1次不定方程式の整数解、互いに素な数の個数と包除原理数学A(整数の性質)・難易度 標準　

(1) ア = 7、イウ = 13

　15! は 1 から 15 までの自然数の積だから、その素因数は 1 から 15 までに現れる素数に限られる。

　それらは 2, 3, 5, 7, 11, 13 の6個なので、小さい順に p₁ = 2, p₂ = 3, p₃ = 5, p₄ = 7, p₅ = 11, p₆ = 13 である。

(2) エオ = 11、カ = 6、キ = 3

　m₁ は 1 から 15 までの数に含まれる素因数 2 の総数である。2 の倍数が 7 個、4 の倍数が 3 個、8 の倍数が 1 個、16 以上の 2 の累乗の倍数はないので m₁ = 7 + 3 + 1 = 11 である。

　同様に 3 の倍数が 5 個、9 の倍数が 1 個だから m₂ = 5 + 1 = 6、5 の倍数が 3 個で 25 の倍数はないから m₃ = 3 である。

(3) クケ = 77、コ = 6、サ = 5、シスセ = 994、ソタチ = 841

　p₅ = 11、p₆ = 13 だから方程式は 11x − 13y = 1 であり、11·6 − 13·5 = 66 − 65 = 1 だから (x, y) = (6, 5) は1つの解である。

　辺々引くと 11(x − 6) = 13(y − 5) となり、11 と 13 は互いに素だから整数 k を用いて x = 13k + 6、y = 11k + 5 と表される。

　1 ≦ 13k + 6 ≦ 1000 かつ 1 ≦ 11k + 5 ≦ 1000 を解くと 0 ≦ k ≦ 76 となるので組は 77 個あり、x は k について増加するから k = 0 のとき (x, y) = (6, 5)、k = 76 のとき (x, y) = (994, 841) である。

　（別解）11x ≡ 1 (mod 13) とみると 11 ≡ −2 (mod 13) より −2x ≡ 1 (mod 13)、すなわち x ≡ 6 (mod 13) が得られ、同じ結論になる。

(4) ツテト = 780、ナニヌ = 720

　1 から 1000 までに 7 の倍数は 142 個、11 の倍数は 90 個、77 の倍数は 12 個ある。

　p₄p₅ = 77 と互いに素であるとは 7 の倍数でも 11 の倍数でもないことだから、求める個数は 1000 − (142 + 90 − 12) = 780 である。

　p₄p₅p₆ = 7·11·13 = 1001 > 1000 だから 7, 11, 13 のすべてで割り切れる数は M にない。13 の倍数は 76 個、91 の倍数は 10 個、143 の倍数は 6 個だから、求める個数は 1000 − (142 + 90 + 76) + (12 + 10 + 6) = 720 である。