大問Ⅳ　絶対値と根号を含む関数の微分と面積微分法と積分法（数学III）・難易度 やや難　

(1) ア = 3、イ = 4、ウエ/オ = (10/3)

　x > 1 では x − 1 > 0、2x + 5 > 0 だから f(x) = (x−1)√(2x+5)。積の微分法より f′(x) = √(2x+5) + (x−1)・(1/√(2x+5)) = ((2x+5) + (x−1))/√(2x+5) = (3x+4)/√(2x+5)。

　f′(2) = (3・2+4)/√9 = (10/3)。

(2) カキ = −5、ク = 2、ケコ√サ/シ = −(4√5)/5

　−(5/2) < x < 1 では f(x) = −(x−1)√(2x+5) なので f′(x) = −(3x+4)/√(2x+5)、x < −(5/2) では f(x) = −(x−1)√(−(2x+5)) なので f′(x) = (3x+4)/√(−(2x+5))。

　x = −3 は x < −(5/2) の側だから f′(−3) = (−9+4)/√1 = −5。x = −2 と x = 0 は −(5/2) < x < 1 の側だから f′(−2) = −(−6+4)/√1 = 2、f′(0) = −4/√5 = −(4√5)/5。

(3) スセ/ソ = −(4/3)、タ√チツ/テ = (7√21)/9

　3つの場合のいずれでも f′(x) の分子は 3x + 4 であり、これが0になるのは x = −(4/3)。−(5/2) < −(4/3) < 1 なので確かに定義域の内部にあり、a = −(4/3)。

　f(−(4/3)) = |−(4/3) − 1|・√|2・(−(4/3)) + 5| = (7/3)・√(7/3) = (7√7)/(3√3) = (7√21)/9。

(4) トナ√ニ/ヌネ = (49√7)/15

　f(x) ≧ 0 であり f(x) = 0 となるのは x = 1 と x = −(5/2) だから、グラフとx軸で囲まれる部分は −(5/2) ≦ x ≦ 1 の範囲にあり、面積は ∫[−(5/2)→1](1−x)√(2x+5)dx。

　u = 2x + 5 と置換すると x = (u−5)/2、dx = du/2、1 − x = (7−u)/2 で、積分は (1/4)∫[0→7](7u^(1/2) − u^(3/2))du = (1/4){(14/3)・7√7 − (2/5)・49√7} = (49√7)/15。