大問Ⅰ　さいころの目と三角関数の値の確率場合の数と確率／三角関数・難易度 標準　

(1) ア/イ = (1/3)

　1 ≦ m ≦ 6 より (π/2) ≦ (mπ/2) ≦ 3π。この範囲で sin(mπ/2) = 1 となるのは (mπ/2) = (π/2)、(5π/2)、すなわち m = 1、5 の2通り。mは大きいさいころの目だから確率は (2/6) = (1/3)。

(2) ウ/エ = (1/9)

　2 ≦ n ≦ 12 より (π/2) ≦ (nπ/4) ≦ 3π。sin(nπ/4) = 1 となるのは (nπ/4) = (π/2)、(5π/2)、すなわち n = 2、10。目の組は n = 2 で1通り、n = 10 で (4,6)、(5,5)、(6,4) の3通り。確率は (1+3)/36 = (1/9)。

(3) オ/カ = (1/3)

　2 ≦ n ≦ 12 より (2π/3) ≦ (nπ/3) ≦ 4π。cos(nπ/3) = (1/2) となるのは (nπ/3) = (5π/3)、(7π/3)、(11π/3)、すなわち n = 5、7、11。目の組はそれぞれ4通り、6通り、2通りで、確率は (4+6+2)/36 = (1/3)。

(4) キ/ク = (1/4)

　d = sin(nπ/4) + cos(nπ/4) = √2 sin((nπ/4) + (π/4)) だから、d = −1 ⟺ sin((nπ/4)+(π/4)) = −(1/√2) ⟺ (nπ/4)+(π/4) = (5π/4)、(7π/4)、(13π/4) すなわち n = 4、6、12。目の組は3通り、5通り、1通りで、確率は (3+5+1)/36 = (1/4)。

(5) ケコ/サシ = (19/36)

　b = sin(nπ/4) = 0 となるのは (nπ/4) が π の整数倍のとき、すなわち n = 4、8、12。d = sin(nπ/4) + cos(nπ/4) = √2 sin((nπ/4) + (π/4)) = 0 となるのは (n+1) が4の倍数のとき、すなわち n = 3、7、11。なお c = cos(nπ/3) は 2 ≦ n ≦ 12 のどの整数でも0にならない。

　よって bcd = 0 となるのは n ∈ {3, 4, 7, 8, 11, 12}。和がその値になる目の組の個数は順に 2、3、6、5、2、1 で合計19通りだから、確率は (19/36)。

(6) ス/セ = (2/9)

　(5)で挙げた以外の n、すなわち n = 2、5、6、9、10 について b、c、d の値を調べると、bcd はそれぞれ −(1/2)、(1/2)、1、−1、−(1/2) となる。したがって bcd < 0 となるのは n = 2、9、10 のとき。

　和がその値になる目の組は順に 1通り、4通り、3通りで合計8通りだから、確率は (8/36) = (2/9)。

(7) ソタ/チツ = (11/18)

　a = sin(mπ/2) = 0 となるのは m = 2、4、6、b = sin(nπ/4) = 0 となるのは n = 4、8、12 だから、ab = 0 は「mが偶数」または「n ∈ {4, 8, 12}」と同値。

　mが偶数となる目の組は 3・6 = 18 通り。mが奇数でかつ n ∈ {4, 8, 12} となるのは、小さいさいころの目を m′ として (m, m′) = (1, 3)、(3, 1)、(3, 5)、(5, 3) の4通り。

　この2つは排反だから、確率は (18 + 4)/36 = (22/36) = (11/18)。