大問Ⅲ　3次関数の極値・接線・直線との共有点と面積の等分微分法と積分法（数学II）・難易度 標準　

(1) ア/イ = (1/2)、ウ = 3

　f(a) = a³ − (5/2)a・a² + 2a²・a = a³ − (5/2)a³ + 2a³ = (1/2)a³。

(2) エ = 3、オ = 5、カ = 2

　各項を微分して f′(x) = 3x² − 2・(5/2)a x + 2a² = 3x² − 5a x + 2a²。

(3) キ/ク = (2/3)、ケコ/サシ = (14/27)

　f′(x) = (3x − 2a)(x − a) = 0 より x = (2/3)a、a。a > 0 なので (2/3)a < a であり、f′(x) は x < (2/3)a で正、(2/3)a < x < a で負、x > a で正。したがって x = (2/3)a で極大。

　f((2/3)a) = (8/27)a³ − (5/2)a・(4/9)a² + 2a²・(2/3)a = ((8/27) − (10/9) + (4/3))a³ = (14/27)a³。

(4) スセ = 10、ソタ = 16

　f(2) = 8 − 10a + 4a²、f′(2) = 12 − 10a + 2a² なので接線は y = (2a² − 10a + 12)(x − 2) + (4a² − 10a + 8)。x = 0 を代入して y切片は −2(2a²−10a+12) + (4a²−10a+8) = 10a − 16。

(5) チ/ツテ = (7/16)、ト = 2、ナニ/ヌネ = (11/18)

　g(x) = f(x) − mx = x{x² − (5/2)a x + (2a² − m)} とおくと、共有点のx座標は g(x) = 0 の実数解。x = 0 は常に解なので、2次方程式 x² − (5/2)a x + (2a² − m) = 0 が0と異なる相異なる2つの正の解をもてばよい。

　判別式 (25/4)a² − 4(2a² − m) > 0 より m > (7/16)a²、2解の積 2a² − m > 0 より m < 2a²（これは解が0でないことも保証する）、2解の和 (5/2)a > 0 は常に成立。よって (7/16)a² < m < 2a²。

　2つの部分の面積が等しいことは、大きいほうの解をβとして ∫[0→β]g(x)dx = 0 と同値。これを計算すると (β²/4) − (5a/6)β + (2a²−m)/2 = 0 で、β² − (5/2)aβ + (2a²−m) = 0 と連立すると β = (5/3)a。これを代入して 2a² − m = (5/2)a・(5/3)a − (25/9)a² = (25/18)a²、すなわち m = (11/18)a²。