大問Ⅱ　重心・内心・外心・垂心・傍心の位置ベクトル平面上のベクトル・難易度 標準　

(1) アイウ = −10

　余弦定理より cos∠AOB = (OA² + OB² − AB²)/(2・OA・OB) = (25 + 36 − 81)/60 = −(1/3)。よって内積は 5・6・(−(1/3)) = −10。

(2) エ/オ = (1/3)

　三角形の重心は3頂点の位置ベクトルの平均だから、ベクトルOG = (1/3)(ベクトルOO + ベクトルOA + ベクトルOB) = (1/3)(ベクトルOA + ベクトルOB)。

(3) カ/キク = (3/10)、ケ/コ = (1/4)

　内心は3辺の長さを重みとする加重平均で、頂点Oの対辺AB = 9、頂点Aの対辺OB = 6、頂点Bの対辺OA = 5だから、ベクトルOP = (9・ベクトルOO + 6・ベクトルOA + 5・ベクトルOB)/(9+6+5) = (3/10)ベクトルOA + (1/4)ベクトルOB。

(4) サシ/ス = (63/5)、セソ/タ = (23/2)

　ベクトルOQ = sベクトルOA + tベクトルOB とおく。外心は3頂点から等距離だから |ベクトルOQ|² = |ベクトルOQ − ベクトルOA|²、|ベクトルOQ|² = |ベクトルOQ − ベクトルOB|²。展開すると 2(sベクトルOA + tベクトルOB)・ベクトルOA = 25、2(sベクトルOA + tベクトルOB)・ベクトルOB = 36 となり、|OA|² = 25、|OB|² = 36、内積 −10 を代入して 50s − 20t = 25、−20s + 72t = 36。

　これを解くと s = (63/80)、t = (23/32) なので、16ベクトルOQ = (63/5)ベクトルOA + (23/2)ベクトルOB。

(5) チツ/テ = (23/5)、ト/ナ = (7/2)

　Rは△OABの垂心である。ベクトルOR = sベクトルOA + tベクトルOB とおくと、OR ⊥ AB より ベクトルOR・(ベクトルOB − ベクトルOA) = 0、AR ⊥ OB より (ベクトルOR − ベクトルOA)・ベクトルOB = 0。

　内積を代入すると −35s + 46t = 0、−10s + 36t + 10 = 0 となり、s = −(23/40)、t = −(7/16)。よって −8ベクトルOR = (23/5)ベクトルOA + (7/2)ベクトルOB。

(6) ニ = 3、ヌ/ネ = (5/2)

　直線OA、直線OB、辺ABすべてに接し中心が三角形の外部にある円は、頂点Oの対辺ABに接する傍接円である。傍心は ベクトルOS = (−9・ベクトルOO + 6・ベクトルOA + 5・ベクトルOB)/(−9 + 6 + 5) = (6ベクトルOA + 5ベクトルOB)/2 = 3ベクトルOA + (5/2)ベクトルOB。

　別解（(4)(5)）：O(0, 0)、A(5, 0)、B(−2, 4√2) と座標をとっても同じ結果が得られる。外心は2辺の垂直二等分線の交点、垂心は2本の垂線の交点として連立すればよい。