大問Ⅳ　2曲線が囲む図形の面積・最大最小・回転体の体積三角関数／積分法（数学III）・難易度 やや難　

(1) ア = 3、イ = 3

　f(x) = g(x) は √3 sin x + 2sin x cos x = 0、すなわち sin x(√3 + 2cos x) = 0。0 ≦ x ≦ π では x = 0、(5/6)π、π の3個。

　f(x) = −g(x) は sin x(√3 − 2cos x) = 0 となり、x = 0、(1/6)π、π の3個。

(2) ウ/エ = (7/2)

　f(x) − g(x) = sin x(√3 + 2cos x) は 0 ≦ x ≦ (5/6)π で0以上、(5/6)π ≦ x ≦ π で0以下だから、Sの面積は ∫[0→(5/6)π]{f−g}dx + ∫[(5/6)π→π]{g−f}dx。

　∫(√3 sin x + sin2x)dx = −√3 cos x − (1/2)cos2x を用いて計算すると、前半が 2√3 + (3/4) − ... のように求まり、合計すると (7/2) となる。

(3) √オ = √3、√カキ = √35、ク = 8、ケコ = −3、√サシス = √105、セ = 8、√ソ = √3、タ = 4

　h(x) = √3 sin x − sin2x より h′(x) = √3 cos x − 2cos2x = −4cos²x + √3 cos x + 2。h′(x) = 0 は cos x = t とおくと 4t² − √3 t − 2 = 0 で、t = (√3 ± √35)/8。

　(√3 − √35)/8 ≒ −0.52 に対応するxでは h が最大（h ≒ 2.37）、(√3 + √35)/8 ≒ 0.96 に対応するxでは h が最小（h ≒ −0.05）となり、端点の h(0) = h(π) = 0 より大きい・小さいので、cosα = (√3 − √35)/8。

　g′(x) = −2cos2x = −4cos²x + 2 に cosα を代入すると、cos²α = (38 − 2√105)/64 = (19 − √105)/32 だから g′(α) = −4・(19−√105)/32 + 2 = (−3 + √105)/8。

　cosα、cosβ は 4t² − √3 t − 2 = 0 の2解だから、解と係数の関係より cosα + cosβ = (√3)/4。

(4) チ/ツ = (3/4)、テト√ナ/ニヌ = (15√3)/16

　Sとそれをx軸に関して折り返した図形を合わせると、x = (1/2)π に関して対称な立体の断面が得られる。y = f(x) と y = −g(x) の交点のx座標は (1/6)π、y = g(x) と y = −f(x) の交点も対応して定まるので、回転体の外側は 0 ≦ x ≦ (1/6)π で |g(x)|、(1/6)π ≦ x ≦ (1/2)π で |f(x)| が半径となる。

　空洞部分を差し引く形で計算すると、体積は 2{∫[0→(1/6)π]π g²dx + ∫[(1/6)π→(1/2)π]π f²dx} − {∫[(1/2)π→(5/6)π]π g²dx + ∫[(5/6)π→π]π f²dx}。

　半角の公式 sin²2x = (1 − cos4x)/2、sin²x = (1 − cos2x)/2 を用いて積分すると (3/4)π² + ((15√3)/16)π。