大問Ⅰ　正方形上を動く点の確率と確率漸化式場合の数と確率／数列・難易度 標準　

(1) ア/イ = (4/9)

　1回の試行で時計回りに動く確率は4以下の目が出る確率で (4/6) = (2/3)、反時計回りは (2/6) = (1/3)。2回でAに戻るのは時計回り1回・反時計回り1回のときだけなので、₂C₁・(2/3)・(1/3) = (4/9)。

(2) ウエ/オカ = (13/27)

　3回でBに来るのは「時計回り2回・反時計回り1回」か「反時計回り3回」の2通り。前者は ₃C₂・(2/3)²・(1/3) = (4/9)、後者は (1/3)³ = (1/27)。この2つは排反なので和をとって (4/9) + (1/27) = (13/27)。

(3) キ = 0、クケ/コ = −(1/9)、サ/シ = (5/9)、ス/セ = (1/2)、ソ/タチ = (1/18)、ツテ/ト = −(1/9)

　1回の移動で点Pは必ず {A, C} と {B, D} の間を行き来するので、nが奇数のとき点Pは頂点BかDにあり、Cにはいない。よって p_n = 0。

　2回投げてもとの頂点に戻る確率は(1)より (4/9)、対角の頂点へ移る確率は 1 − (4/9) = (5/9)。2k回後にAまたはCのどちらにいたかで場合分けすると、p_(2k+2) = (5/9)(1 − p_(2k)) + (4/9)p_(2k) = −(1/9)p_(2k) + (5/9)。

　この漸化式は p_(2k+2) − (1/2) = −(1/9){p_(2k) − (1/2)} と変形でき、p_2 = (5/9) より p_2 − (1/2) = (1/18) であるから p_(2k) = (1/2) + (1/18)・(−(1/9))^(k−1)。

(4) ナニ = 21

　nが偶数のとき点PはAかCにあるので q_n = 0 となり |q_n − (1/2)| = (1/2) で条件を満たさない。nが奇数のときは(3)と同じ議論で q_(n+2) − (1/2) = −(1/9){q_n − (1/2)} が成り立ち、q_1 = (1/3) より q_1 − (1/2) = −(1/6)。n = 2k−1 とおくと q_n − (1/2) = −(1/6)・(−(1/9))^(k−1)。

　|q_n − (1/2)| = (1/6)・(1/9)^(k−1) < (1/10^10) ⟺ (k−1)・2log₁₀3 > 10 − log₁₀6 = 10 − 0.7781 = 9.2219。2log₁₀3 = 0.9542 より k−1 ≧ 10、最小は k = 11、すなわち n = 2・11 − 1 = 21。

　別解（(2)）：3回後にBにあるのは「時計回りの回数が反時計回りより1多い」場合と「3回とも反時計回り」の場合に限られるので、(2/3)と(1/3)の反復試行として上の2通りを数えればよい。