大問Ⅱ　なす角と面積からの成分決定・直線のベクトル方程式平面上のベクトル・難易度 標準　

(1) ア√イウ/エ = (4√10)/3、オ√カ = 4√5、キ = 8、ク = 4

　|ベクトルOA| = √(4² + (−(4/3))²) = √(16 + (16/9)) = √(160/9) = (4√10)/3。

　三角形の面積公式 (1/2)|ベクトルOA||ベクトルOB|sin45° = (40/3) に代入すると (1/2)・((4√10)/3)・|ベクトルOB|・(√2/2) = (40/3) となり |ベクトルOB| = 4√5。

　x軸の正の向きとベクトルOAのなす角をφ（Aは第4象限にあるので下向きに測る）とすると tanφ = ((4/3))/4 = (1/3)。ベクトルOBとx軸の正の向きのなす角をθとすると θ + φ = 45°で、加法定理 tan(θ+φ) = (tanθ + (1/3))/(1 − (1/3)tanθ) = 1 より tanθ = (1/2)。よって n = (1/2)m で、m² + ((1/2)m)² = (4√5)² から m = 8、n = 4。

(2) ケ = 2、コ/サ = (4/3)、シ = 3、スセ/ソ = (80/3)、タ/チ = (8/3)、ツ/テ = (4/3)、ト/ナ = (1/8)

　2s + 3t = 4 の両辺を4で割ると (s/2) + ((3t)/4) = 1。そこで ベクトルOC = 2ベクトルOA、ベクトルOD = (4/3)ベクトルOB とおくと ベクトルOP = (s/2)ベクトルOC + ((3t)/4)ベクトルOD となり、係数の和が1だから点Pは直線CD上にある。

　C(8, −(8/3))、D((32/3), (16/3)) より直線CDの傾きは ((16/3) + (8/3))/((32/3) − 8) = 8/((8/3)) = 3 で、点Cを通るから y = 3x − (80/3)。

　直線ODは原点とD((32/3), (16/3))を通るので方向ベクトルは (2, 1)。点Aから下ろした垂線の足Hは、ベクトルOAの直線OD上への正射影だから ベクトルOH = ((ベクトルOA・(2,1))/|(2,1)|²)(2, 1) = (((20/3))/5)(2, 1) = ((8/3), (4/3))。

　|ベクトルOH| = (4/3)√5、|ベクトルAH| = |((4/3), −(8/3))| = (4/3)√5 で、∠OHA = 90°だから S = (1/2)・((4/3)√5)² = (40/9)。T = (1/2)|8・(16/3) − (−(8/3))・(32/3)| = (320/9)。よって S/T = (1/8)。

　別解（(2)の点H）：直線ODは y = (1/2)x なので、これに垂直で点Aを通る直線は y = −2x + (20/3)。2式を連立して H((8/3), (4/3)) としてもよい。