大問Ⅲ　放物線と直線が囲む面積の最小と格子点の個数微分法と積分法（数学II）・難易度 標準　

(1) アイ = −2、ウ = 1

　傾きa、y切片bの直線は y = ax + b で、点(2, 1)を通るから 1 = 2a + b。よって b = −2a + 1。

(2) エ = 2、オ = 6、カ = 2、キ = 6

　n = 2、a = 0 のとき C : y = (1/2)x² − 2x、ℓ : y = 1。連立して 1 = (1/2)x² − 2x すなわち x² − 4x − 2 = 0 となり、解の公式から x = 2 ± √6。小さい順に 2 − √6、2 + √6。

(3) ク = 1、ケコ = −1、サ√シ/ス = (4√2)/3

　n = 1 のとき C : y = (1/2)x² − x。ℓ : y = ax − 2a + 1 と連立すると x² − 2(a+1)x + 4a − 2 = 0 で、判別式は (a+1)² − (4a−2) = a² − 2a + 3 = (a−1)² + 2 > 0 だから必ず2交点をもち、x = a + 1 ± √(a² − 2a + 3)。

　この2解をp、q（p < q）とすると、区間 p ≦ x ≦ q で放物線は直線の下側にあるから、面積は (1/2)∫[p→q](x−p)(q−x)dx の形になり、(1/6)公式より (1/2)・(1/6)(q−p)³ = (1/12)(2√(a²−2a+3))³ = (2/3)(√(a²−2a+3))³。

　これは a² − 2a + 3 = (a−1)² + 2 が最小のとき最小で、a = 1 のとき最小値2をとる。このとき b = −2・1 + 1 = −1 で、面積は (2/3)(√2)³ = (4√2)/3。

(4) セ = 1、ソ = 2、タ = 1、チ = 4、ツテ = 16、ト/ナ = (2/3)、ニ = 2、ヌ/ネ = (4/3)

　a = 1 のとき ℓ : y = x − 1。C と連立して x² − 2(n+1)x + 2 = 0 より α = n + 1 − √(n²+2n−1)、β = n + 1 + √(n²+2n−1)。

　n ≧ 1 のとき n² < n² + 2n − 1 < (n+1)² だから n < √(n²+2n−1) < n + 1。これより 0 < α < 1、2n + 1 < β < 2n + 2 がわかるので、αより大きい最小の整数は1、βより小さい最大の整数は 2n + 1。

　α ≦ x ≦ β では放物線が直線の下側にあるので、各整数 x（1 ≦ x ≦ 2n+1）について (1/2)x² − nx ≦ y ≦ x − 1 を満たす整数yの個数を数えればよい。n = 1 では x = 1, 2, 3 に対しそれぞれ1個、2個、1個で L = 4。n = 2 では x = 1,…,5 に対し 2, 4, 4, 4, 2 個で L = 16。

　一般に数え上げると L = (2/3)n³ + 2n² + (4/3)n となり、n = 1 で4、n = 2 で16と一致する。