大問Ⅳ　三角関数の合成による関数の整理、合成関数の微分、増減表と極値、周期性を用いた方程式の実数解の個数数学III(微分法)／数学II(三角関数)・難易度 やや難　

(1) アイ/ウ = −(1/3)

　加法定理より sin(x + a) = sin x cos a + cos x sin a である。

　これが (1/2)sin x − (√3/2)cos x と x によらず一致するので cos a = (1/2)、sin a = −(√3/2)。

　|a| ≦ (π/2) でこれを満たすのは a = −(π/3) だから、a = −(1/3)π。

(2) エ = 1、オ = 0

　(1) より (1/2)sin x − (√3/2)cos x = sin(x − (π/3)) だから、u = sin(x − (π/3)) とおくと f(x) = e^u − u と書ける。

　x = (π/3) のとき u = sin0 = 0 だから f((π/3)) = e⁰ − 0 = 1。

　x = −(π/6) のとき u = sin(−(π/6) − (π/3)) = sin(−(π/2)) = −1 だから f(−(π/6)) = e^(−1) + 1 であり、g(−(π/6)) = e^(−1) + 1 − 1 − (1/e) = 0。

(3) カ√キ/ク = −(√3/2)

　f(x) = e^u − u（u = sin(x − (π/3))）を x で微分すると、合成関数の微分法より f′(x) = (e^u − 1)・cos(x − (π/3))。

　x = 0 のとき u = sin(−(π/3)) = −(√3/2)、cos(−(π/3)) = (1/2) だから f′(0) = (e^(−√3/2) − 1)・(1/2)。

　よって 2f′(0) + 1 = e^(−√3/2) − 1 + 1 = e^(−√3/2) となり、log(2f′(0) + 1) = −(√3/2)。

(4) ケ/コ = (1/3)、サシ/ス = (11/6)、セ = 1、ソタ = −1、チ = 1、ツ = 4、テ/ト = (5/6)

　f′(x) = (e^(sin(x − (π/3))) − 1)cos(x − (π/3)) = 0 となるのは sin(x − (π/3)) = 0 または cos(x − (π/3)) = 0 のときである。

　0 ≦ x ≦ 2π では x − (π/3) は −(π/3) 以上 (5π/3) 以下を動く。sin(x − (π/3)) = 0 となるのは x − (π/3) = 0、π すなわち x = (π/3)、(4π/3)。cos(x − (π/3)) = 0 となるのは x − (π/3) = (π/2)、(3π/2) すなわち x = (5π/6)、(11π/6)。

　よって最小は b = (π/3)、最大は c = (11π/6) である。

　f(b) = f((π/3)) = 1。c では x − (π/3) = (3π/2) で u = −1 だから f(c) = e^(−1) + 1。

　w = x − (π/3) とおくと f′ の符号は (e^(sin w) − 1)cos w の符号で、e^(sin w) − 1 は sin w と同符号だから、f′ の符号は sin w cos w、すなわち sin2w の符号と一致する。w が −(π/3) から (5π/3) まで動くとき sin2w の符号は負、正、負、正、負と4回変わるので、f(x) は上の4つの x の値すべてで極値をとる。よって ツ = 4。

　f(x) = e^u − u（u = sin(x − (π/3))、−1 ≦ u ≦ 1）で、φ(u) = e^u − u は φ′(u) = e^u − 1 より u < 0 で減少、u > 0 で増加する。φ(−1) = e^(−1) + 1 = 1.367…、φ(1) = e − 1 = 1.718… だから最大は u = 1 のときで、sin(x − (π/3)) = 1 すなわち x = (5π/6) のとき。

　なお端点では u = sin(−(π/3)) = −(√3/2) で f = e^(−√3/2) + (√3/2) = 1.286… となり、これより大きい。よって f(x) は x = (5/6)π で最大となる。

(5) ナニ = 15

　g(x) = 0 は f(x) = 1 + (1/e)、すなわち φ(u) = e^u − u = 1 + (1/e)（u = sin(x − (π/3))、−1 ≦ u ≦ 1）と同値である。

　φ は u < 0 で減少、u > 0 で増加し、φ(−1) = 1 + (1/e)、φ(0) = 1 < 1 + (1/e)、φ(1) = e − 1 > 1 + (1/e) だから、−1 ≦ u ≦ 1 での解は u = −1 と、0 < u₀ < 1 を満たすただ1つの u₀ の2個である。

　f(x + 2π) = f(x) だから g も周期 2π をもつ。0 ≦ x < 2π の範囲では、sin(x − (π/3)) = −1 となる x は (11π/6) の1個、sin(x − (π/3)) = u₀（0 < u₀ < 1）となる x は1周期に2個あるので2個で、あわせて3個である。

　0 ≦ x ≦ 10π は 0 ≦ x < 2π の5周期分と x = 10π からなり、f(10π) = f(0) = e^(−√3/2) + (√3/2) = 1.286… ≠ 1 + (1/e) なので x = 10π は解ではない。

　よって解は 3 × 5 = 15 個。