大問Ⅱ　順列の総数の素因数分解、約数の個数と総和、互いに素な数の個数、階乗に含まれる素因数の個数と末尾の0数学A(場合の数・整数の性質)・難易度 やや難　

(1) アイウ = 504、エ = 3、オカ = 72、キク = 24、ケコサシ = 1560、スセソ = 144

　(i) M = ₉P₃ = 9・8・7 = 504。

　(ii) 504 = 2³・3²・7 だから異なる素因数は 2、3、7 の3個。

　約数を大きい順に並べると、504 を小さい約数 1、2、3、4、5、6、… で割った商が順に並ぶ。504 の約数で小さいものから 1、2、3、4、6、7 だから、大きい順には 504、252、168、126、84、72 となり、6番目は 72。

　(iii) 504 = 2³・3²・7¹ より約数の個数は (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24。

　約数の総和は (1 + 2 + 4 + 8)(1 + 3 + 9)(1 + 7) = 15・13・8 = 1560。

　(iv) 504 以下で 504 と互いに素な数の個数は、504 の素因数 2、3、7 のいずれでも割り切れない数の個数である。包除原理を使うと

　504 − (252 + 168 + 72) + (84 + 36 + 24) − 12 = 504 − 492 + 144 − 12 = 144。

(2) タチ = 30、ツテ = 26、トナ = 30、ニヌ = 26、ネ = 8

　条件は「M が 10⁷ で割り切れ、10⁸ では割り切れない」、すなわち M の末尾に並ぶ 0 がちょうど7個ということである。M = n(n − 1)…(n − r + 1) では2の因数のほうが5の因数より多いので、末尾の 0 の個数は M に含まれる素因数5の個数に等しい。

　n を固定したとき M に含まれる5の個数が最大になるのは r = n、すなわち M = n! のときで、その個数は [n ÷ 5] + [n ÷ 25] + … である。n = 29 では 5 + 1 = 6 で7に届かず、n = 30 では 6 + 1 = 7 となる。よって最小の n は 30。

　(i) n = 30 のとき M = 30・29・…・(31 − r) である。5の因数は 30 が1個、25 が2個、20、15、10、5 が各1個なので、r を1から増やしていくと5の個数は r = 1 で1、r = 6（20 まで含む）で3、r = 11 で4、r = 16 で5、r = 21 で6、r = 26（5 まで含む）で7となり、r = 26 から r = 30 までが5の個数ちょうど7である。よって 26 ≦ r ≦ 30。

　この範囲で2の因数が最も多いのは r = 30、すなわち M = 30! のときで、その個数は [30 ÷ 2] + [30 ÷ 4] + [30 ÷ 8] + [30 ÷ 16] = 15 + 7 + 3 + 1 = 26。よって k の最大値は 26。

　(ii) r = 30 のとき M = 30! = 2²⁶・3¹⁴・5⁷・7⁴・11²・13²・17・19・23・29 だから、M ÷ 10⁷ = 2¹⁹・3¹⁴・7⁴・11²・13²・17・19・23・29 である。

　この数は偶数で5の倍数ではないから1の位は 2、4、6、8 のいずれかであり、5で割った余りを調べればよい。5 を法として 2¹⁹ ≡ 3、3¹⁴ ≡ 4、7⁴ ≡ 1、11² ≡ 1、13² ≡ 4、17 ≡ 2、19 ≡ 4、23 ≡ 3、29 ≡ 4 で、これらの積は 3・4・1・1・4・2・4・3・4 ≡ 3 (mod 5)。

　偶数で5で割った余りが3である1桁の数は 8 だから、1の位の数字は 8。