大問Ⅲ　2次関数の最大値、2曲線の共有点の個数と判別式、接する条件と接線、領域における1次式の最大数学I(2次関数)／数学II(図形と方程式)・難易度 標準　

(1) ア = 8、イウ = 16、エ = 1

　f(x) = −4x² + ax − 1 = −4{x² − (a/4)x} − 1 = −4{x − (a/8)}² + 4・((a²)/64) − 1 = −4{x − (a/8)}² + ((a²)/16) − 1。

　x² の係数が負だから、x = (a/8) のとき最大値 ((a²)/16) − 1 をとる。

(2) オカ√キ = −2√5、ク√ケ = 2√5

　共有点の x 座標は −4x² + ax − 1 = x²、すなわち 5x² − ax + 1 = 0 の実数解である。

　異なる2つの共有点をもつのは、この2次方程式が異なる2つの実数解をもつときで、判別式 D = a² − 20 > 0。

　よって a² > 20、すなわち a < −2√5 または a > 2√5。

(3) √コ/サ = (√5/5)、シ/ス = (1/5)、セ√ソ/タ = ((2√5)/5)、チ/ツ = (1/5)

　接するのは D = a² − 20 = 0 のときで、a > 0 より a = 2√5。

　このとき 5x² − 2√5 x + 1 = 0 は重解 x = (2√5) ÷ 10 = (√5/5) をもつ。接点は G 上の点でもあるから y = x² = (5/25) = (1/5) で、接点は ((√5/5), (1/5))。

　f′(x) = −8x + a = −8x + 2√5 だから、x = (√5/5) における接線の傾きは −8・(√5/5) + 2√5 = (−(8√5) + 10√5) ÷ 5 = ((2√5)/5)。

　よって接線は y − (1/5) = ((2√5)/5)(x − (√5/5))、すなわち y = ((2√5)/5)x − (2・5) ÷ 25 + (1/5) = ((2√5)/5)x − (2/5) + (1/5) = ((2√5)/5)x − (1/5)。

(4) テト/ナニ = (33/16)、ヌ = 4

　a = 6 のとき f(x) = −4x² + 6x − 1 で、2曲線の共有点は 5x² − 6x + 1 = 0、(5x − 1)(x − 1) = 0 より x = (1/5)、1。

　条件 y ≦ f(x) かつ y ≧ x² を満たす領域は、(1/5) ≦ x ≦ 1 で x² ≦ y ≦ f(x) となる部分である。

　k = x + y とおくと、k が最大になるのは領域の上側の境界 y = f(x) 上か、両端の頂点である。上側の境界上では k = x + (−4x² + 6x − 1) = −4x² + 7x − 1 で、これは x = (7/8) で最大となり、(7/8) は (1/5) ≦ x ≦ 1 に含まれるので最大値は −4・(49/64) + (49/8) − 1 = −(49/16) + (98/16) − (16/16) = (33/16)。

　下側の境界 y = x² 上では k = x² + x で、(1/5) ≦ x ≦ 1 では増加して x = 1 で 2 となり、(33/16) = 2.0625 のほうが大きい。よって x + y の最大値は (33/16)。

　同様に l = 3x + y とおくと、上側の境界上では l = −4x² + 9x − 1 で、これは x = (9/8) で最大となるが (9/8) > 1 なので (1/5) ≦ x ≦ 1 では増加し、x = 1 で最大値 −4 + 9 − 1 = 4。

　下側の境界上では l = x² + 3x で x = 1 のとき 4。よって 3x + y の最大値は 4。