大問Ⅰ 複素数の3乗の計算、対数の底の変換、指数と対数の往復、正接の2倍角から sinα・cosα を決める数学II(複素数と方程式・指数関数と対数関数・三角関数)・難易度 標準
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無料(1) アイ√ウ = −5√5
x − 1 = √5 i だから、x³ − 3x² + 3x − 1 = (x − 1)³ = (√5 i)³ である。
(√5 i)³ = (√5)³ i³ = 5√5 × (−i) = −5√5 i。
(2) エ = 4
底の変換公式で底を 2 にそろえると log₅7 = log₂7 ÷ log₂5、log₇16 = log₂16 ÷ log₂7。
よって log₂5・log₅7・log₇16 = log₂16 = log₂2⁴ = 4。
(3) オカキ = 125、ク/ケ = (1/3)
a = log₂5 より 2^a = 5 だから 8^a = (2³)^a = (2^a)³ = 5³ = 125。
b = log₈7 = log₂7 ÷ log₂8 = (1/3)log₂7 = log₂7^(1/3) だから 2^b = 7^(1/3)。
(4) コ = 2、サシ/ス = −(4/3)、セ = 4、ソ/タ = (4/5)、チ = 4、ツ/テ = (7/5)
(i) t = tanα とおく。tan2α = 2t ÷ (1 − t²) = (24/7) より 24(1 − t²) = 14t、整理して 12t² + 7t − 12 = 0。
左辺は (3t + 4)(4t − 3) と因数分解できるので t = −(4/3)、(3/4) の2個で、最小は −(4/3)。
(ii) 1 + tan²α = 1 ÷ cos²α を用いる。tanα = −(4/3) のとき cos²α = (9/25) で cosα = ±(3/5)、sinα = tanα cosα より (cosα, sinα) = (−(3/5), (4/5))、((3/5), −(4/5))。
tanα = (3/4) のとき cos²α = (16/25) で cosα = ±(4/5)、(cosα, sinα) = (−(4/5), −(3/5))、((4/5), (3/5))。
よって sinα のとりうる値は (4/5)、−(4/5)、(3/5)、−(3/5) の4個で、最大は (4/5)。
(iii) (ii) の4組それぞれについて sinα + cosα を計算すると (1/5)、−(1/5)、−(7/5)、(7/5) となる。
よって4個で、最大は (7/5)。
出典：近畿大学 2021年度 一般選抜 前期A日程（1/31）理系 数学 大問Ⅰ。
