大問Ⅳ　指数関数と三角関数の積の導関数、導関数の連立による原始関数の構成、2曲線で囲まれた部分の面積数学III(微分法・積分法)・難易度 標準　

(1) アイ/ウ = −(1/4)、エ/オカ = (1/12)

　f(x) = g(x) は e^(−x)sin3x = e^(−x)cos3x であり、e^(−x) > 0 だから sin3x = cos3x。

　cos3x = 0 なら sin3x = ±1 となって等式は成り立たないので cos3x ≠ 0 であり、両辺を cos3x で割って tan3x = 1。

　よって 3x = (π/4) + nπ（n は整数）、すなわち x = (π/12) + (nπ/3) である。

　n = −1 のとき x = −(π/4) で、これが負で最大のもの。n = 0 のとき x = (π/12) で、これが正で最小のもの。よって a = −(π/4)、b = (π/12)。

(2) キ = −1、ク = 3、ケコ = −3、サシ/スセ = −(1/10)、ソ/タチ = (3/10)

　積の微分法より f′(x) = −e^(−x)sin3x + 3e^(−x)cos3x = −f(x) + 3g(x)。

　同様に g′(x) = −e^(−x)cos3x − 3e^(−x)sin3x = −3f(x) − g(x)。

　αf′(x) + βg′(x) = f(x) がすべての x で成り立つとして代入すると (−α − 3β)f(x) + (3α − β)g(x) = f(x) だから −α − 3β = 1、3α − β = 0。これを解いて α = −(1/10)、β = −(3/10)。

　よって f(x) = −(1/10)f′(x) − (3/10)g′(x)、すなわち問題の形では f(x) = (−1/10)f′(x) − (3/10)g′(x)。

(3) ツ√テ/トナ = ((3√2)/10)、ニ = 4、ヌ = 1、ネ = 3

　f(x) − g(x) = e^(−x)(sin3x − cos3x) = √2 e^(−x) sin(3x − (π/4)) である。a < x < b では 3x − (π/4) は −π より大きく 0 より小さいので sin(3x − (π/4)) < 0、すなわち g(x) > f(x) である。

　(2) と同様に γf′(x) + δg′(x) = g(x) とおくと −γ − 3δ = 0、3γ − δ = 1 より γ = (3/10)、δ = −(1/10) となり、g(x) = (3/10)f′(x) − (1/10)g′(x)。

　したがって g(x) − f(x) = (2/5)f′(x) + (1/5)g′(x) となり、面積は ∫_a^b (g(x) − f(x))dx = (2/5)[f(x)]_a^b + (1/5)[g(x)]_a^b。

　f(b) = g(b) = e^(−π/12)・(√2/2)、f(a) = g(a) = −e^(π/4)・(√2/2) だから [f(x)]_a^b = [g(x)]_a^b = (√2/2)(e^(−π/12) + e^(π/4))。

　よって面積は ((2/5) + (1/5))・(√2/2)(e^(−π/12) + e^(π/4)) = ((3√2)/10)(e^(π/4) + e^(−π/12)) = ((3√2)/10) e^(π/4) (1 + e^(−π/3))。