大問Ⅰ　絶対値つき1次関数のグラフの共有点、座標平面上の三角形の面積、正接の加法定理、ガウス記号を満たす範囲数学I(数と式)／数学II(三角関数)・難易度 標準　

(1) ア/イ = (5/3)、ウ/エ = (5/4)、オ/カ = (5/2)、キク/ケコ = (25/24)、サ/シ = (3/4)

　g(x) = 0 すなわち |3x − 5| = 0 より 3x − 5 = 0、x = (5/3)。よって A((5/3), 0) である。

　f(x) = g(x) は |x| = |3x − 5| であり、両辺とも0以上だから2乗して x² = (3x − 5)²。整理すると 8x² − 30x + 25 = 0、(4x − 5)(2x − 5) = 0 より x = (5/4)、(5/2)。

　どちらも x > 0 なので y = f(x) = x であり、B((5/4), (5/4))、C((5/2), (5/2)) である。

　ベクトル AB = (−(5/12), (5/4))、ベクトル AC = ((5/6), (5/2)) だから、△ABC = (1/2)|(−(5/12))・(5/2) − (5/4)・(5/6)| = (1/2)・(25/12) = (25/24)。

　この2つのベクトルの内積は (−(5/12))・(5/6) + (5/4)・(5/2) = (25/9) であり、上の外積の大きさは (25/12) だから tan∠BAC = (25/12) ÷ (25/9) = (3/4)。

　別解：半直線 AB は直線 y = −3x + 5 上、半直線 AC は直線 y = 3x − 5 上にある。これらが x 軸の正の向きとなす角をそれぞれ β、α（0 < α < β < π）とすると tanα = 3、tanβ = −3 で、∠BAC = β − α である。正接の加法定理より tan∠BAC = (tanβ − tanα) ÷ (1 + tanβ・tanα) = (−6) ÷ (−8) = (3/4)。

(2) スセ = −1、ソ = 1

　「f(x) を超えない最大の整数が 0」は 0 ≦ f(x) < 1 と同値である。

　f(x) = |x| だから 0 ≦ |x| < 1、すなわち −1 < x < 1 となる。

(3) タ = 6、チツ = 10、テト = 30

　「f(x) を超えない最大の整数が 1」は 1 ≦ |x| < 2 と同値で、これは −2 < x ≦ −1 または 1 ≦ x < 2 である。

　1 ≦ x < 2 のとき 3x − 5 は −2 以上 1 未満を動き、x = (5/3) で 0 になるので g(x) = |3x − 5| のとりうる値は 0 以上 2 以下（x = 1 で最大値 2）。よって g(x) を超えない最大の整数は 0、1、2 のいずれかである。

　−2 < x ≦ −1 のとき 3x − 5 は −11 より大きく −8 以下だから g(x) = |3x − 5| は 8 以上 11 未満。よって g(x) を超えない最大の整数は 8、9、10 のいずれかである。

　以上より a のとりうる値は 0、1、2、8、9、10 の6個、最大は 10、総和は 0 + 1 + 2 + 8 + 9 + 10 = 30。