大問Ⅲ　絶対値つき2次関数と原点を通る直線の共有点、放物線と直線で囲まれた面積、面積の和の最小、2つの面積が等しい条件数学II(微分法と積分法)・難易度 やや難　

(1) ア = 1、イ = 1

　f(x) = x(x − 2) は 0 < x < 2 で負、それ以外で0以上だから、y = |f(x)| は 0 ≦ x ≦ 2 では y = −x² + 2x = −(x − 1)² + 1、それ以外では y = x² − 2x である。

　前者は x = 1 の前後で増加から減少に変わるので、x = 1 で極大値 1 をとる。

(2) ウ = 0、エ = 2、オ = 0、カ = 4

　ℓ：y = mx は原点を通り、原点は C 上の点だから x = 0 はつねに共有点である。

　x ≦ 0 または x ≧ 2 の部分（y = x² − 2x）との共有点は mx = x² − 2x、すなわち x(x − m − 2) = 0 より x = m + 2 で、これが x ≦ 0 または x ≧ 2 を満たすのは m ≦ −2 または m ≧ 0 のときである。

　0 ≦ x ≦ 2 の部分（y = −x² + 2x）との共有点は mx = −x² + 2x、すなわち x(x + m − 2) = 0 より x = 2 − m で、これが 0 ≦ x ≦ 2 を満たすのは 0 ≦ m ≦ 2 のときである。

　共有点が異なる3つになるのは 0、2 − m、m + 2 がすべて異なるときで、0 < m < 2 に限られる。

　このとき 0 < 2 − m < 2 < m + 2 だから p = 0、q = 2 − m、r = m + 2 であり、q + r = (2 − m) + (m + 2) = 4。

(3) キ/ク = (4/3)、ケ = 3、コ = 6

　0 ≦ x ≦ 2 では x 軸が F の上側にあるから S₁ = ∫₀² (2x − x²)dx = [x² − (x³/3)]₀² = 4 − (8/3) = (4/3)。

　F と ℓ の共有点の x 座標は 0 と m + 2 = r だから、放物線と直線で囲まれた部分の面積の公式 (1/6)|a|(β − α)³（ここで a = 1、α = 0、β = r）より S₂ = ((r³)/6)。

(4) サシ = −2、ス = 2、セソ√タ + チ = −4√2 + 6、ツテ = 16、トナ = −2、ニ/ヌ = (4/3)

　q = 2 − m、r = m + 2 とおく。0 ≦ x ≦ q では C が ℓ の上にあり、その部分の面積は ∫₀^q ((−x² + 2x) − mx)dx = ((q³)/6) で、これは S₃ に等しい。

　q ≦ x ≦ r では ℓ が C の上にあり、その部分の面積は ∫_q^2 (mx − (−x² + 2x))dx + ∫_2^r (mx − (x² − 2x))dx である。m = 2 − q を使うと前の積分は ∫_q^2 (x² − qx)dx = (8/3) − 2q + ((q³)/6)、後の積分は S₂ − ∫₀² ((m + 2)x − x²)dx = S₂ − (16/3) + 2q となるので、和は ((q³)/6) + S₂ − (8/3)。

　したがって S = ((q³)/6) + ((q³)/6) + S₂ − (8/3) = 2S₃ + S₂ − (8/3) であり、S₁ = (4/3) より (8/3) = 2S₁ だから、m によらず S = −2S₁ + S₂ + 2S₃ が成り立つ。

　これを m で表すと S = −(8/3) + (((m + 2)³)/6) + (((2 − m)³)/3) で、微分すると (dS/dm) = (((m + 2)²)/2) − (2 − m)²。0 < m < 2 でこれが 0 になるのは (m + 2)² = 2(2 − m)²、すなわち m + 2 = √2(2 − m) のときで、m(1 + √2) = 2√2 − 2 より m = (2√2 − 2) ÷ (√2 + 1) = 2(√2 − 1)² = 6 − 4√2。(dS/dm) はこの前後で負から正に変わるので、ここで S は最小になる。

　2つの部分の面積が等しいのは ((q³)/6) = ((q³)/6) + S₂ − (8/3)、すなわち S₂ = (8/3) のときで、((r³)/6) = (8/3) より r³ = 16。

　このとき r = 16^(1/3) = 2^(4/3) で、r = m + 2 だから m = −2 + 2^(4/3)。