大問Ⅱ　正弦定理・余弦定理・半角の公式、内接円の半径、角の二等分線、重心から辺に下ろした垂線の足の位置数学I(図形と計量)／数学C(平面上のベクトル)・難易度 標準　

(1) ア√イウ/エオ = ((3√15)/16)、√カキ/ク = (√10/8)

　AD は ∠BAC の二等分線で ∠BAD = θ だから ∠BAC = 2θ である。

　外接円の半径が ((8√15)/15) だから、正弦定理 BC ÷ sin∠BAC = 2R より 3 ÷ sin2θ = 2 × ((8√15)/15) = ((16√15)/15)。よって sin2θ = 3 × 15 ÷ (16√15) = ((3√15)/16)。

　∠BAC = 2θ は鋭角だから cos2θ > 0 であり、sin²2θ = (135/256) より cos2θ = √(1 − (135/256)) = (11/16)。

　半角の公式 sin²θ = (1 − cos2θ) ÷ 2 より sin²θ = (5/32)。0 < θ < (π/4) で sinθ > 0 だから sinθ = (√10/8)。

(2) ケ = 2、コ√サシ/ス = ((3√15)/4)、√セソ/タ = (√15/6)、√チ = √6

　AC = 2AB だから、余弦定理 BC² = AB² + AC² − 2・AB・AC・cos2θ に代入して

　9 = AB² + 4AB² − 4AB²・(11/16) = (9/4)AB²。よって AB² = 4、AB > 0 より AB = 2、AC = 4 である。

　面積は (1/2)・AB・AC・sin2θ = (1/2)・2・4・((3√15)/16) = ((3√15)/4)。

　内接円の半径を r とすると、面積 = (1/2)r(AB + BC + CA) だから ((3√15)/4) = (1/2)・r・9、よって r = (√15/6)。

　0 < θ < (π/4) より cosθ > 0 で、cos²θ = 1 − (5/32) = (27/32) だから cosθ = ((3√6)/8)。

　角の二等分線の長さの公式 AD = 2・AB・AC・cosθ ÷ (AB + AC) に代入して AD = 2・2・4・((3√6)/8) ÷ 6 = √6。

　別解：B(0, 0)、C(3, 0) と座標をとる。AB = 2、AC = 4 より A の座標は (−(1/2), (√15/2))。角の二等分線の性質から BD : DC = AB : AC = 1 : 2 なので D(1, 0)。AD² = (1 + (1/2))² + (15/4) = (9/4) + (15/4) = 6 より AD = √6。

(3) ツ/テト = (5/18)、ナ/ニヌ = (1/18)

　B(0, 0)、C(3, 0) とすると、AB = 2、AC = 4 から A(−(1/2), (√15/2)) である。

　重心 G は3頂点の座標の平均だから G((5/6), (√15/6))、辺 BC は x 軸上にあるので垂線の足は H((5/6), 0)。よって BH = (5/6) で BH ÷ BC = (5/6) ÷ 3 = (5/18)。

　角の二等分線の性質より BD : DC = AB : AC = 1 : 2 だから BD = 3 × (1/3) = 1 で D(1, 0)。HD = 1 − (5/6) = (1/6) だから HD ÷ BC = (1/6) ÷ 3 = (1/18)。

　別解：ベクトルを用いるなら、BH = sBC とおいて AH = (1 − s)AB + sAC と表し、重心の AG = (AB + AC) ÷ 3 と合わせて GH・BC = 0 を計算すると 9s = (5/2)、すなわち s = (5/18) が得られる。