大問Ⅳ　2直線と垂線でつくる点列・相似比と等比数列・面積の無限級数数列・極限（数学III）・難易度 やや難　

(1) ア = 3, イ = 3, ウ = 1, エ = 2, オ = 3, カ = 2　（y₁ = (√3)/3、R₁(1/2, (√3)/2)）

　P₁ は ℓ: y = ((√3)/3)x 上で x 座標が 1 だから y₁ = (√3)/3 であり、P₁(1, (√3)/3) である。

　直線m の傾きは √3 だから P₁R₁ の傾きは −1/√3 で、P₁R₁: y = −((√3)/3)(x−1) + (√3)/3 = −((√3)/3)x + (2/3)√3。これと y = (√3)x を連立して x = (1/2) を得るので、R₁ = (1/2, (√3)/2) である。

(2) キ = 3, ク = 4, ケ = 3, コ = 3　（x_(n+1) = (3/4)xₙ, yₙ = ((√3)/3)xₙ）

　Pₙ は ℓ 上にあるので yₙ = ((√3)/3)xₙ であり、Qₙ(xₙ, 0) である。

　(1) と同様に PₙRₙ の傾きは −1/√3 で、PₙRₙ: y = −((√3)/3)x + (2/3)(√3)xₙ。これと y = (√3)x を連立して Rₙ = ((1/2)xₙ, ((√3)/2)xₙ) を得る。

　直線QₙRₙ は Qₙ(xₙ, 0) と Rₙ を通るので傾きは −√3、すなわち y = −(√3)x + (√3)xₙ。これと ℓ: y = ((√3)/3)x を連立して x = (3/4)xₙ、よって x_(n+1) = (3/4)xₙ である。

(3) サ = 3, シス = 12, セ = 3, ソタ = 32　（S₁ = (√3)/12, T₁ = (√3)/32）

　Rₙ から x 軸に下ろした垂線の足を Hₙ とすると Hₙ((1/2)xₙ, 0) で、PₙQₙ ⊥ x 軸だから △PₙRₙQₙ は底辺 PₙQₙ = ((√3)/3)xₙ、高さ QₙHₙ = xₙ − (1/2)xₙ = (1/2)xₙ と見て Sₙ = (1/2)·((√3)/3)xₙ·(1/2)xₙ = ((√3)/12)xₙ²。x₁ = 1 より S₁ = (√3)/12 である。

　同様に △QₙP_(n+1)Q_(n+1) は底辺 QₙQ_(n+1) = xₙ − x_(n+1) = (1/4)xₙ、高さ P_(n+1)Q_(n+1) = ((√3)/3)x_(n+1) = ((√3)/4)xₙ だから Tₙ = (1/2)·(1/4)xₙ·((√3)/4)xₙ = ((√3)/32)xₙ²。よって T₁ = (√3)/32 である。

(4) チ = 4, ツ = 3, テト = 21, ナ = 3, ニヌ = 14　（Σ Sₙ = (4√3)/21, Σ Tₙ = (√3)/14）

　(2) より数列 {xₙ} は初項 1、公比 (3/4) の等比数列だから xₙ = ((3/4))ⁿ⁻¹、したがって xₙ² = ((9/16))ⁿ⁻¹ である。

　公比 (9/16) は絶対値が 1 より小さいので Σ(n=1〜∞)xₙ² = 1/(1−(9/16)) = (16/7)。

　よって Σ Sₙ = ((√3)/12)·(16/7) = (4√3)/21、Σ Tₙ = ((√3)/32)·(16/7) = (√3)/14 である。