大問Ⅱ　さいころ3個の確率（余事象・対数不等式・三角関数の値・合同式）場合の数と確率・難易度 標準　

(1) ア = 1,　イウエ = 216　（確率は (1/216)）

　3個のさいころの目の出方は 6³ = 216 通りで、どれも同様に確からしい。

　積 abc が 1 になるのは a = b = c = 1 のときに限られるので、確率は (1/216) である。

(2) オ = 5,　カキ = 72　（確率は (5/72)）

　a + b = c となるのは c の値を決めるごとに a + b = c をみたす (a, b) を数えればよく、c = 2, 3, 4, 5, 6 に対してそれぞれ 1, 2, 3, 4, 5 通りある。

　合計 1+2+3+4+5 = 15 通りだから、確率は (15/216) = (5/72) である。

(3) クケ = 19,　コサ = 27　（確率は (19/27)）

　「積 abc が 3 の倍数」の余事象は「a, b, c がすべて 3 の倍数でない」、すなわち 3 個とも 1, 2, 4, 5 のいずれかになることで、その確率は (4/6)³ = (8/27)。

　よって求める確率は 1 − (8/27) = (19/27) である。

(4) シス = 71,　セソ = 72　（確率は (71/72)）

　底をそろえると log₄a = (log₂a)/(log₂4) = (1/2)log₂a だから、log₄a < log₂(b+c) ⇔ log₂a < 2log₂(b+c) ⇔ a < (b+c)² である。

　余事象 a ≧ (b+c)² を考えると b+c ≧ 2 より (b+c)² ≧ 4 で、a ≦ 6 だから b+c = 2 の場合しかなく、(a, b, c) = (4, 1, 1), (5, 1, 1), (6, 1, 1) の3通り。

　よって求める確率は 1 − (3/216) = (71/72) である。

(5) タ = 1,　チツ = 18　（確率は (1/18)）

　a = 1, 2, 3, 4, 5, 6 に対する sin((a/2)π) は順に 1, 0, −1, 0, 1, 0、b に対する sin((b/3)π) は順に (√3)/2, (√3)/2, 0, −(√3)/2, −(√3)/2, 0、c に対する sin((c/4)π) は順に (√2)/2, 1, (√2)/2, 0, −(√2)/2, −1 である。

　無理数 (√3)/2, (√2)/2 は他の値と打ち消し合えないので、和が 0 になるのは 3 項とも整数値のとき、すなわち b = 3 または b = 6 のときに限られ、このとき sin((a/2)π) + sin((c/4)π) = 0 が必要である。これをみたす (a, c) は (1, 6), (2, 4), (3, 2), (4, 4), (5, 6), (6, 4) の6通り。

　よって確率は (2×6)/216 = (1/18) である。

(6) テ = 1,　ト = 3　（確率は (1/3)）

　3 を法とすると、a = 1〜6 に対する 2ᵃ の余りは 2, 1, 2, 1, 2, 1 で「1 が3通り、2 が3通り」、b = 1〜6 に対する 2^(b−1) の余りは 1, 2, 1, 2, 1, 2 でやはり「1 が3通り、2 が3通り」、c = 1〜6 に対する 2c の余りは 2, 1, 0, 2, 1, 0 で「0, 1, 2 が各2通り」である。

　和が 3 の倍数となる余りの組 (2ᵃ, 2^(b−1), 2c) は (1, 1, 1), (1, 2, 0), (2, 1, 0), (2, 2, 2) の4通りで、どれも 3×3×2 = 18 通りずつ起こるから 4×18 = 72 通り。

　よって確率は (72/216) = (1/3) である。

　【別解】2ᵃ ≡ 1 の場合と 2ᵃ ≡ 2 の場合に分けて数えても、どちらも 3·2 + 3·2 = 12 通りずつとなり 3×12 + 3×12 = 72 通りが得られる。