大問Ⅲ　無理数のべきと整数列の漸化式・等比数列・二項定理と剰余数列・整数の性質・難易度 やや難　

(1) アイ = 27,　ウ = 7　（a₂ = 27, b₂ = 7）

　((7+√5)/2)² = (49 + 14√5 + 5)/4 = (27 + 7√5)/2 であり、これが (a₂ + b₂√5)/2 に等しい。

　√5 は無理数で aₙ, bₙ は有理数だから、有理部と無理部を比べて a₂ = 27, b₂ = 7 である。

(2) エ = 7, オ = 2, カ = 5, キ = 2, ク = 1, ケ = 2, コ = 7, サ = 2　（a_(n+1) = (7/2)aₙ + (5/2)bₙ, b_(n+1) = (1/2)aₙ + (7/2)bₙ）

　(a_(n+1) + b_(n+1)√5)/2 = ((7+√5)/2)·((aₙ + bₙ√5)/2) の右辺を展開すると (1/2)·{((7/2)aₙ + (5/2)bₙ) + ((1/2)aₙ + (7/2)bₙ)√5} となる。

　aₙ, bₙ は有理数なので有理部と無理部を比べて、a_(n+1) = (7/2)aₙ + (5/2)bₙ, b_(n+1) = (1/2)aₙ + (7/2)bₙ である。

(3) シスセ = 112,　ソタ = 38　（a₃ = 112, b₃ = 38）

　(2) の漸化式に a₂ = 27, b₂ = 7 を代入すると a₃ = (7/2)·27 + (5/2)·7 = (189+35)/2 = 112。

　同様に b₃ = (1/2)·27 + (7/2)·7 = (27+49)/2 = 38 である。

(4) チ = 5,　ツ = 2　（c² = 5、r を超えない最大の整数は 2）

　a_(n+1) − c b_(n+1) = ((7−c)/2)aₙ − ((7c−5)/2)bₙ = ((7−c)/2)(aₙ − ((7c−5)/(7−c))bₙ) であるから（c ≠ 7）、これが公比 r の等比数列になる条件は c = (7c−5)/(7−c) かつ r = (7−c)/2 である。

　c = (7c−5)/(7−c) より 7c − c² = 7c − 5、すなわち c² = 5。c > 0 だから c = √5 で、r = (7−√5)/2。

　√4 < √5 < √9 より 2 < r < (5/2) だから、r を超えない最大の整数は 2 である。

(5) テト = 27　（余りは 27）

　(4) より aₙ − √5 bₙ = ((7−√5)/2)ⁿ⁻¹(a₁ − √5 b₁) で、a₁ = 7, b₁ = 1 だから (aₙ − bₙ√5)/2 = ((7−√5)/2)ⁿ。これと (aₙ + bₙ√5)/2 = ((7+√5)/2)ⁿ を辺々足して aₙ = ((7+√5)/2)ⁿ + ((7−√5)/2)ⁿ を得る。

　よって 2¹⁰a₁₀ = (7+√5)¹⁰ + (7−√5)¹⁰ で、二項定理により奇数乗の項が打ち消し合って 2Σ(k=0〜5) ₁₀C₂ₖ·5ᵏ·7^(10−2k) となる。

　0 ≦ k ≦ 4 の項は 7² を因数にもつので 49 で割り切れ、残る k = 5 の項は 2·₁₀C₁₀·5⁵ = 6250 で、6250 = 49·127 + 27。よって余りは 27 である。