大問Ⅰ　2点間の距離・内分点・直線と放物線が接する条件図形と方程式・難易度 標準　

(1) ア = 5　（線分PQ の長さは √5）

　t = 0 のとき P(2, 0), Q(1, 2) であるから、2点間の距離の公式より PQ = √((2−1)² + (0−2)²) = √(1+4) = √5 である。

(2) イ = 2,　ウ = 4

　一般に PQ² = {(2−t)−(1−t)}² + {t−(2−t)}² = 1² + (2t−2)² = 4t² − 8t + 5 である。

　PQ = √37 すなわち PQ² = 37 とおくと 4t² − 8t − 32 = 0、つまり t² − 2t − 8 = (t−4)(t+2) = 0。

　よって t = 4, −2 の2個であり、このうち正であるものは t = 4 である。

(3) エ = 2,　オ = 3,　カ = 8,　キ = 9　（t = (2/3)、R の y 座標は (8/9)）

　R は線分PQ を 1:2 に内分する点だから、内分点の公式より R = ((2(2−t)+(1−t))/3, (2t+(2−t))/3) = ((5−3t)/3, (2+t)/3) である。

　x 座標について (5−3t)/3 = 1、すなわち 5−3t = 3 より t = (2/3)。

　このとき y 座標は (2+(2/3))/3 = ((8/3))/3 = (8/9) である。

(4) ク = 1,　ケ = 2,　コ = 7,　サ = 8　（傾きは (1/2)、y 切片は (7/8)）

　直線PQ の傾きは (t−(2−t))/((2−t)−(1−t)) = (2t−2)/1 = 2(t−1) であり、P を通ることから

　y = 2(t−1)(x−(2−t)) + t、すなわち y 切片は −2(t−1)(2−t) + t = 2t² − 5t + 4 である。

　2t² − 5t + 4 = 2(t − (5/4))² + (7/8) と平方完成できるので、t = (5/4) のとき y 切片は最小値 (7/8) をとり、そのときの傾きは 2((5/4)−1) = (1/2) である。

(5) シス = −1,　セ = 2,　ソ = 1,　タ = 2,　チ = 7,　ツ = 8　（a = −(1/2), b = (1/2), c = (7/8)）

　放物線と直線PQ が接する条件は、ax² + bx + c = 2(t−1)x + 2t² − 5t + 4 すなわち ax² + (b−2t+2)x + (c − 2t² + 5t − 4) = 0 の判別式が 0 になることである。

　D = (b−2t+2)² − 4a(c − 2t² + 5t − 4) = 4(2a+1)t² − 4(5a+b+2)t + (b² + 4b − 4ac + 16a + 4) であり、これがすべての t について 0 となるのは t の恒等式になるときだから、2a+1 = 0, 5a+b+2 = 0, b²+4b−4ac+16a+4 = 0。

　これを解いて a = −(1/2), b = (1/2), c = (7/8) を得る。