大問Ⅴ　空間図形の回転体の体積（断面積の場合分け）微分積分・難易度 　

$D=\left(\dfrac12,0,\dfrac12\right)$（線分ACの中点）。平面 $x=t$ ($0\leqq t\leqq1$) で三角形ABDを切った断面を調べ、それを$x$軸のまわりに回転させたときの断面積 $S(t)$ を求め、$V=\displaystyle\int_0^1 S(t)\,dt$ を計算する方針で解く。

三角形の各辺を $x=t$ で切った点の $(y,z)$ 座標を求める。

辺AB：$\mathrm A(1,0,0)\to\mathrm B(0,1,0)$ 上の点は $(t,\,1-t,\,0)$ ($0\leqq t\leqq1$)。

辺AD：$\mathrm A(1,0,0)\to\mathrm D(1/2,0,1/2)$ 上の点は $(t,\,0,\,1-t)$ ($1/2\leqq t\leqq1$)。

辺BD：$\mathrm B(0,1,0)\to\mathrm D(1/2,0,1/2)$ 上の点は $(t,\,1-2t,\,t)$ ($0\leqq t\leqq1/2$)。

したがって、$0\leqq t\leqq1/2$ では辺ABと辺BDが切られ、断面は $(y,z)$ 平面上で2点 $P=(1-t,0)$、$Q=(1-2t,t)$ を結ぶ線分。$1/2\leqq t\leqq1$ では辺ABと辺ADが切られ、断面は2点 $P=(1-t,0)$、$R=(0,1-t)$ を結ぶ線分になる（$P,Q,R$ いずれも直線 $y+z=1-t$ 上にあることが確認でき、境目 $t=1/2$ で連続的につながる）。

この線分を $x$ 軸（$=(y,z)$平面の原点）のまわりに1回転させると、断面は「原点からの最大距離を半径とする円」から「原点からの最小距離を半径とする円」をくり抜いた円環（最小距離が0なら円板）になる。最大距離は線分の両端点のうち遠い方、最小距離は原点から線分（を含む直線）へ下ろした垂線の足がその線分上にあればその垂線の長さ、なければ近い方の端点までの距離。

【$1/2\leqq t\leqq1$ のとき】　線分は $P=(1-t,0)$ と $R=(0,1-t)$ を結ぶ、直線 $y+z=1-t$ 上の線分。両端点は原点からいずれも距離 $1-t$（対称）。原点から直線 $y+z=1-t$ への垂線の足は、対称性よりちょうど線分の中点 $\left(\dfrac{1-t}2,\dfrac{1-t}2\right)$ で、これは常に線分上にある。垂線の長さ（点と直線の距離の公式）は $\dfrac{|1-t|}{\sqrt2}$。よって最大半径 $=1-t$、最小半径 $=\dfrac{1-t}{\sqrt2}$ で、

$$S(t)=\pi(1-t)^2-\pi\left\{\dfrac{1-t}{\sqrt2}\right\}^2=\pi(1-t)^2-\dfrac{\pi}2(1-t)^2=\dfrac{\pi}2(1-t)^2.$$

【$0\leqq t\leqq1/2$ のとき】　線分は $P=(1-t,0)$ と $Q=(1-2t,t)$ を結ぶ（同じ直線 $y+z=1-t$ 上）。垂線の足がこの線分の範囲に入るかを調べると、$t=1/3$ を境に切り替わることが分かる（PからQへ向かうパラメータで足の位置を計算すると、境目が $t=1/3$ に一致する）。

・$1/3\leqq t\leqq1/2$：垂線の足がP–Q間に収まるので、$1/2\leqq t\leqq1$の場合と同じ理由で最小半径 $=\dfrac{1-t}{\sqrt2}$、最大半径 $=1-t$（Qより Pの方が原点から遠いことも確認できる）。よってこの範囲も $S(t)=\dfrac{\pi}2(1-t)^2$ で、$t=1/2$ 側と連続的につながる。

・$0\leqq t<1/3$：垂線の足が線分の外（Qより先）に出るため、線分上で原点に最も近いのは端点Qになる。最大半径は引き続きP、すなわち $1-t$。最小半径はQまでの距離 $\sqrt{(1-2t)^2+t^2}$。よって

$$S(t)=\pi(1-t)^2-\pi\{(1-2t)^2+t^2\}=\pi\{(1-2t+t^2)-(1-4t+5t^2)\}=\pi(2t-4t^2)=\pi(-4t^2+2t).$$

（検算：$t=0$ で $S=0$（三角形は $x=0$ で頂点Bの1点に退化するので断面積0で整合）。$t=1$ で $S=0$（頂点Aに退化するので同様に整合）。$t=1/3$ で両方の式が $\dfrac\pi2\left(\dfrac23\right)^2=\dfrac{2\pi}9$ と $\pi\left(-\dfrac49+\dfrac23\right)=\dfrac{2\pi}9$ で一致し、連続。）

以上より、

$$V=\int_0^{1/3}\pi(-4t^2+2t)\,dt+\int_{1/3}^1\dfrac{\pi}2(1-t)^2\,dt.$$

第1項 $=\pi\left[-\dfrac{4t^3}3+t^2\right]_0^{1/3}=\pi\left(-\dfrac4{81}+\dfrac19\right)=\pi\left(-\dfrac4{81}+\dfrac9{81}\right)=\dfrac{5\pi}{81}$。

第2項 $=\dfrac{\pi}2\left[-\dfrac{(1-t)^3}3\right]_{1/3}^1=\dfrac{\pi}2\cdot\dfrac13\left(\dfrac23\right)^3=\dfrac{\pi}2\cdot\dfrac8{81}=\dfrac{4\pi}{81}$。

$V=\dfrac{5\pi}{81}+\dfrac{4\pi}{81}=\dfrac{\pi}9$