大問Ⅳ　円と放物線の位置関係・存在条件（点を通る円の中心の個数）図形と方程式・難易度 　

(1) $f'(x)=-\dfrac{\sqrt2}{2}x$ より、点$(t,f(t))$における接線の傾きは $-\dfrac{\sqrt2}{2}t$。円$C_t$はこの点で放物線と共通接線をもつので、中心$(c(t),0)$からこの点へ引いた半径は接線と直交する、つまり法線上にある。法線の傾きは接線の傾きの逆数の符号を変えたもので $\dfrac{\sqrt2}{t}$（$t\neq 0$）。

法線の方程式 $y-f(t)=\dfrac{\sqrt2}{t}(x-t)$ に $y=0$ を代入してx軸との交点を求めると、

$$c(t)=t-\dfrac{f(t)\,t}{\sqrt2}$$

$\dfrac{f(t)}{\sqrt2}=-\dfrac14 t^2+4$ なので、

$$c(t)=t-t\left(-\dfrac14t^2+4\right)=\dfrac14t^3-3t$$

$t-c(t)=4t-\dfrac14t^3=-\dfrac14t(t^2-16)$。また $f(t)=-\dfrac{\sqrt2}{4}(t^2-16)$。ともに$(t^2-16)$を因数にもつことに着目して

$$\{r(t)\}^2=(t-c(t))^2+\{f(t)\}^2=\left\{\dfrac14t(t^2-16)\right\}^2+\left\{\dfrac{\sqrt2}{4}(t^2-16)\right\}^2=\dfrac{(t^2-16)^2(t^2+2)}{16}$$

【答(1)】 $c(t)=\dfrac14t^3-3t$、$\{r(t)\}^2=\dfrac{(t^2-16)^2(t^2+2)}{16}$

(2) 円$C_t$が点$(3,a)$を通る条件は $(3-c(t))^2+a^2=\{r(t)\}^2$、すなわち $a^2=\{r(t)\}^2-(3-c(t))^2=:g(t)$ とおいて、$a^2=g(t)$を満たす$t$の個数を数えればよい。

展開すると $g(t)=-\dfrac38t^4+\dfrac32t^3+3t^2-18t+23$。微分すると

$$g'(t)=-\dfrac32t^3+\dfrac92t^2+6t-18=-\dfrac32(t^3-3t^2-4t+12)=-\dfrac32(t-3)(t-2)(t+2)$$

$0<t<4$ で $t+2>0$ は常に成り立つので、符号は $-(t-3)(t-2)$ で決まる。$0<t<2$ で $g'(t)<0$（減少）、$2<t<3$ で $g'(t)>0$（増加）、$3<t<4$ で $g'(t)<0$（減少）。

$t\to 0+$ で $g(t)\to 23$、$g(2)=5$（極小）、$g(3)=\dfrac{49}{8}$（極大）、$t\to 4-$ で $g(t)\to -1$。よって$g(t)$のグラフは「23付近から5まで単調減少 → 5から49/8まで単調増加 → 49/8から−1まで単調減少」という形になる。

$a^2=g(t)$の解の個数は、水平線 $y=a^2$ とこのグラフの交点の個数に等しい。$0<a<f(3)$ より $0<a^2<\{f(3)\}^2=\dfrac{49}{8}$（$f(3)=-\dfrac{9\sqrt2}{4}+4\sqrt2=\dfrac{7\sqrt2}{4}$ なので $\{f(3)\}^2=\dfrac{49\cdot2}{16}=\dfrac{49}{8}$）。

$0<a^2<5$ のとき：区間$(0,2)$では$g(t)$は23から5まで減るだけ、区間$(2,3)$では5から$\dfrac{49}{8}$まで増えるだけなので、どちらも$a^2$の値をとらない。区間$(3,4)$では$\dfrac{49}{8}$から$-1$まで減るので1回だけ横切る。よって交点は1個。

$a^2=5$ のとき：$t=2$（減少区間と増加区間の境目、極小点）で1個、さらに減少区間$(3,4)$側でもう1個、合計2個。

$5<a^2<\dfrac{49}{8}$ のとき：3つの区間それぞれをちょうど1回ずつ横切るので、交点は3個。

【答(2)】 $0<a<\sqrt5$ のとき1個、$a=\sqrt5$ のとき2個、$\sqrt5<a<\dfrac{7\sqrt2}{4}$ のとき3個