大問Ⅱ　線形結合の掃引と存在範囲（平行六面体の射影＝六角形）複素数平面・難易度 　

(1) $f(0)=c=\alpha$ より $c=\alpha$。$f(1)=a+b+c=\beta$、$f(i)=-a+bi+c=\gamma$。$c$を消去し

$$a+b=\beta-\alpha,\qquad -a+bi=\gamma-\alpha$$

を連立して解くと

$$ a=\dfrac{(\beta-\gamma)+i(\beta+\gamma-2\alpha)}{2},\qquad b=\beta-\alpha-a,\qquad c=\alpha. $$

(2) $f(2)=4a+2b+c$ をこの2つの関係式で整理すると

$$ f(2)=(3\beta-\gamma-\alpha)+i(\beta+\gamma-2\alpha). $$

$f(2)$ を点 $(X,Y)$ とみなすと $(X,Y)=\alpha\cdot(-1,-2)+\beta\cdot(3,1)+\gamma\cdot(-1,1)$。すなわち $f(2)$ は3つの固定ベクトル $p=-1-2i,\ q=3+i,\ r=-1+i$ を用いて、$\alpha,\beta,\gamma\in[1,2]$ を独立に動かしたときの $\alpha p+\beta q+\gamma r$ の軌跡である。

3つの係数を同時に動かすのは考えにくいので、まず$\beta$を固定し、$\alpha,\gamma\in[1,2]$だけを独立に動かして $\alpha p+\gamma r$ が描く図形を先に調べる。$\alpha,\gamma$ がそれぞれ $[1,2]$ を動くとき、1次変換 $(\alpha,\gamma)\mapsto\alpha p+\gamma r$ による像は平行四辺形になる（長方形の頂点を1次変換で写すと平行四辺形になる）。その4頂点は $(\alpha,\gamma)=(1,1),(2,1),(1,2),(2,2)$ を代入して

$$(1,1)\to p+r=(-2,-1),\quad(2,1)\to2p+r=(-3,-3),\quad(1,2)\to p+2r=(-3,0),\quad(2,2)\to2p+2r=(-4,-2)$$

の4点を頂点とする平行四辺形$R$である。

次に $(X,Y)=(\alpha p+\gamma r)+\beta q$ なので、$\beta$を1から2まで動かすことは、この平行四辺形$R$を$q=(3,1)$方向に、$\beta q$が$\beta=1$のときの$(3,1)$から$\beta=2$のときの$(6,2)$まで移動する分だけスライドさせることに対応する。$R$をこの区間で連続的に平行移動させたときに通過する範囲は、$R$の4頂点をそれぞれ$(3,1)$だけ動かした4点と$(6,2)$だけ動かした4点、計8点の凸包になる。実際に計算すると

$$\beta=1:\ R+(3,1)\to(1,0),(0,-2),(0,1),(-1,-1)\qquad\beta=2:\ R+(6,2)\to(4,1),(3,-1),(3,2),(2,0)$$

この8点のうち$(1,0)$と$(2,0)$は、残り6点が作る六角形の内部に含まれてしまうため外周には現れず、外周を形成するのは残り6頂点である。これらを偏角順に並べると

$$ -2i \to 4+i \to 3+2i \to i \to -1-i \to 3-i $$

の順で六角形を形成する。