大問Ⅰ　通過領域・逆像法（放物線の通過範囲を存在条件から求める）図形と方程式・難易度 　

(1) $y=x^2+ax+b$ と $y=-x^2$ を連立すると $x^2+ax+b=-x^2$、すなわち $2x^2+ax+b=0$。$f(x)=2x^2+ax+b$（下に凸の放物線）とおくと、条件は「$f(x)=0$ が $-1<x<0$ にちょうど1つ、$0<x<1$ にちょうど1つ解を持つ」こと。下に凸のグラフでこれが成り立つ必要十分条件は $f(-1)>0$、$f(0)<0$、$f(1)>0$（2次方程式の解の配置の定石）。

$$f(-1)=2-a+b>0 \iff b>a-2,\qquad f(0)=b<0,\qquad f(1)=2+a+b>0 \iff b>-a-2$$

【答(1)】 3直線 $b=0$、$b=a-2$、$b=-a-2$ で囲まれた開三角形（境界を含まない）。頂点は $(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,-2)$。

(2) $C$が点$(x,y)$を通る $\iff$ $y=x^2+ax+b$ を満たす $(a,b)$ が(1)の三角形領域に存在する。$b=-ax+(y-x^2)$ とみると、これは$ab$平面上で傾き$-x$、切片$y-x^2$の直線。$x$を固定して$a$を動かすと、$y=x^2+ax+b$ は $a$ について1次関数として単調に動くので、この直線が(1)の三角形の内部を通るときに$y$がとりうる値は、ちょうど三角形の3頂点での$y$の値のうち最小値と最大値の間（開区間）に一致する（1次関数は凸領域の内部で頂点の値の「間の値をすべて、かつそれだけ」を取るため）。

3頂点 $(2,0)$、$(-2,0)$、$(0,-2)$ それぞれで $y=x^2+ax+b$ を計算すると、$x^2+2x$、$x^2-2x$、$x^2-2$ の3つの値になる。$x$の符号によってこの3値の大小関係が入れ替わるので、場合分けする。

$x\leqq -1$ のとき: $x^2+2x\leqq x^2-2<x^2-2x$ なので $x^2+2x<y<x^2-2x$

$-1\leqq x\leqq 0$ のとき: $x^2-2\leqq x^2+2x\leqq x^2-2x$ なので $x^2-2<y<x^2-2x$

$0\leqq x\leqq 1$ のとき: $x^2-2\leqq x^2-2x\leqq x^2+2x$ なので $x^2-2<y<x^2+2x$

$x\geqq 1$ のとき: $x^2-2x\leqq x^2-2<x^2+2x$ なので $x^2-2x<y<x^2+2x$

（各区間の境界 $x=-1,0,1$ で両側の式の値が一致し、連続的につながることを確認済み。）

【答(2)】 上記4区間の和集合（境界の曲線は含まない）。